數學第四章《圓與方程》復習測試題

          時間:2021-06-19 18:36:11 試題 我要投稿

          數學第四章《圓與方程》復習測試題

            三、解答題

          數學第四章《圓與方程》復習測試題

            11.已知為圓上任意一點,點的坐標為(-2,3).

            ⑴求的最大值和最小值;

            ⑵若P()在圓上,求線段的長及直線的斜率.

            考查目的:考查圓的方程的互化,直線的斜率,點和圓、直線和圓的位置關系及其運用.

            答案:⑴,;⑵,.

            解析:⑴圓的方程可化為,∴圓心的坐標為(2,7),半徑,∴,∴,.

            ⑵∵點P()在圓上,∴,解得,∴點P的坐標為(4,5),∴,.

            12.設圓上的點A(2,3)關于直線的對稱點仍在圓上,且圓與直線相交的弦長為,求圓的方程.

            考查目的:考查圓的方程及其性質,直線與圓的位置關系.

            答案:圓的方程為或.

            解析:設圓的方程為.∵圓上的點A(2,3)關于直線的對稱點仍在圓上,∴圓心在上,∴①.

            ∵圓被直線截得的弦長為,∴②.

            由點A(2,3)在圓上,得③.

            聯立①②③,解得或

            ∴圓的方程為或.

            13.已知圓C:內有一點P(2,2),過點P作直線交圓C于A、B兩點.

            ⑴當直線經過圓心C時,求直線的方程;

            ⑵當弦AB被點P平分時,寫出直線的方程;

            ⑶當直線的傾斜角為時,求弦AB的長.

            考查目的:考查直線與圓的位置關系,以及直線方程的求法.

            答案:⑴;⑵;⑶.

            解析:⑴已知圓C:的圓心為C(1,0).∵直線經過點P、C,∴直線的斜率為2,直線的方程為,即.

            ⑵當弦AB被點P平分時,直線⊥PC,∴直線的方程為,即.

            ⑶當直線的傾斜角為時,斜率為1,直線的方程為,即.又∵圓心C(1,0)到直線:的距離為,圓C的半徑為3,∴弦AB的長為.

            14.已知圓P:與以原點為圓心的圓Q關于直線對稱.

            ⑴求的值;

            ⑵若兩圓的交點為A、B,求∠AOB的度數.

            考查目的.:考查直線和圓的位置關系,圓和圓的位置關系及其綜合應用.

            答案:⑴;⑵.

            解析:⑴圓P:的方程可寫成.

            ∵圓P:和以原點為圓心的圓Q關于直線對稱,

            ∴直線是以兩圓圓心P、Q為端點的線段的垂直平分線,

            ∴,解得.

            ∵點(0,0)與(-4,2)的中點(-2,1)在直線上,∴,解得.

            ⑵圓心P(-4,2)到的距離為,

            又∵圓P的半徑為,∴,由得.

            15.(2008江蘇)設平面直角坐標系中,設二次函數的圖像與兩坐標軸有三個交點,經過這三個交點的圓記為C.求:

            ⑴求實數的取值范圍;

            ⑵求圓C的方程;

            ⑶問圓C是否經過某定點(其坐標與無關)?請證明你的結論.

            考查目的:考查二次函數圖像和性質、圓的方程的求法.

            答案:⑴且;⑵;⑶圓C必過定點(0,1),(-2,1).

            解析:⑴∵圓C經過二次函數圖象與坐標軸的三個交點,∴.令,得拋物線與軸的交點是(0,).令,得,此時,解得.∴實數的取值范圍是且.

            ⑵設所求圓的一般方程為.令,得,這與是同一個方程,∴,.令,得,此方程有一個根為,代入得.∴圓C的方程為.

            ⑶圓C過定點,證明如下:假設圓C經過定點.將該點坐標代入圓C的方程,并變形得①.①式對所有滿足且的實數都成立,必須且,解得或.經檢驗知,點(0,1),(-2,1)均在圓C上,∴圓C經過定點.

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