《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》的說(shuō)課稿
尊敬的各位評(píng)委、各位老師：
大家好！我說(shuō)課的題目是人教版普通高中課程選修2-1第二章第一節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》。下面我就教材分析、學(xué)生情況分析、教學(xué)目標(biāo)、教法與學(xué)法、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)、板書設(shè)計(jì)、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明這幾方面內(nèi)容向大家進(jìn)行闡述。
一、教材分析
圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它的許多幾何性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)是《圓錐曲線與方程》的第一節(jié)課，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。它是本章也是整個(gè)解析幾何部分的重要基礎(chǔ)知識(shí)，原因如下：
第一，在教材結(jié)構(gòu)上，本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)承上啟下的重要作用。前面學(xué)生用坐標(biāo)法研究了直線和圓，而對(duì)橢圓概念與方程的研究是坐標(biāo)法的深入，也適用于對(duì)雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)，更是解決圓錐曲線問題的一種有效方法。
第二，對(duì)橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
第三，對(duì)橢圓定義與方程的探究過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理、交流、反思等理性思維過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的思維方式，加強(qiáng)了運(yùn)算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。
二、學(xué)生情況分析
1.在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，初步了解了用坐標(biāo)法求曲線的方程及其基本步驟，經(jīng)歷了動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察分析、歸納概括、建立模型的基本過(guò)程，這為進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)。
2.經(jīng)過(guò)兩年的高中學(xué)習(xí)，學(xué)生的計(jì)算能力、分析解決問題的能力、歸納概括能力、建模能力都有了明顯提高，使得進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容成為可能。但是，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導(dǎo)化簡(jiǎn)對(duì)學(xué)生是一個(gè)考驗(yàn)，可能會(huì)有一部分學(xué)生探究學(xué)習(xí)受阻，教師要適時(shí)加以點(diǎn)撥指導(dǎo)。
三、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)學(xué)生的實(shí)際、課標(biāo)的要求和本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)目標(biāo)確定如下：
�。ㄒ唬┙虒W(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、證明等方法的運(yùn)用，讓學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓
標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，并根據(jù)條件會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2.通過(guò)對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)及其方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力，加強(qiáng)用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的能力。
3.鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、論證，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們獲得成功的體驗(yàn)。
（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：感受建立曲線方程的基本過(guò)程，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)方法。
2.難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。
四、教法與學(xué)法
1．教法
為了使學(xué)生更主動(dòng)地參加到課堂教學(xué)中，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的探究性學(xué)習(xí)和因材施教的原則，故采用自主探究法。按照“創(chuàng)設(shè)情境——自主探究——建立模型——拓展應(yīng)用”的模式來(lái)組織教學(xué)。
2．學(xué)法
在教學(xué)過(guò)程中，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間。讓他們經(jīng)歷橢圓圖形的形成過(guò)程、定義的歸納概括過(guò)程、方程的推導(dǎo)化簡(jiǎn)過(guò)程，主動(dòng)地獲取知識(shí)。
3．教學(xué)準(zhǔn)備
(1)學(xué)生準(zhǔn)備：一支鉛筆、兩個(gè)圖釘、一根細(xì)繩、一張硬紙板。
(2)教師準(zhǔn)備：用幾何畫板制作的相關(guān)課件。
五、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入
首先，提出問題：“前一段時(shí)間我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，用到了兩種方法，是什么呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)回憶，容易得出結(jié)論。這時(shí)，教師指出：這兩種方法是解析幾何中研究曲線與方程常用的方法。
接下來(lái)我用課件演示一些天體運(yùn)行的軌跡圖，并提出問題：“這些天體運(yùn)行的軌跡是什么呢？”
學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察，很直觀地看出是橢圓，從而引出課題。
再次提問：“我們能否求出這些天體運(yùn)行的軌跡方程呢？學(xué)習(xí)了本節(jié)課的內(nèi)容，就可以解決這個(gè)問題�！�
這樣設(shè)計(jì)的意圖是：一方面，通過(guò)復(fù)習(xí)前面學(xué)過(guò)的有關(guān)知識(shí)，喚起學(xué)生的記憶，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作好鋪墊。另一方面，借助多媒體生動(dòng)、直觀的演示，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)橢圓的重要性和必要性。同時(shí)，激發(fā)他們探求實(shí)際問題的興趣，使他們主動(dòng)、積極地參與到教學(xué)中來(lái)，為后面的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。
�。ǘ﹦�(dòng)手實(shí)驗(yàn)，歸納概念
“一石激起千層浪”，一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題，將會(huì)把學(xué)生帶入自主探究的情境中去。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了濃厚的學(xué)習(xí)興趣，我繼續(xù)提問：“你們還記得前面我們不用圓規(guī)是怎樣畫出圓的圖形的？又是怎樣給圓下定義的？”在學(xué)生回答后，我用課件演示圓的形成過(guò)程。
接著，我讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的學(xué)具，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。類比畫圓的過(guò)程，看能否畫出橢圓，并給予指導(dǎo)。待大多數(shù)學(xué)生都有了結(jié)果后，我再用課件演示畫橢圓的過(guò)程。提出問題：“在畫圖的過(guò)程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變？”
讓學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)驗(yàn)，觀察回答：“兩定點(diǎn)間的距離沒變，繩子的長(zhǎng)度沒變，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)。”
我繼續(xù)提問：“你們能根據(jù)剛才畫橢圓的過(guò)程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？”
先讓學(xué)生獨(dú)立思考一分鐘，然后同桌交流，再進(jìn)行全班交流，逐步完善，概括出橢圓的定義。
橢圓的定義：
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)（r;"/>" v:shapes="_x0000_i1028" alt="" />|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)、叫做橢圓的焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。
得到橢圓的定義后，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行分析理解，幫助學(xué)生更好地領(lǐng)會(huì)橢圓的定義。
此時(shí)，可能會(huì)有學(xué)生提出：“為何‘常數(shù)’要大于兩定點(diǎn)間的距離呢？等于、小于又如何呢？”
我不急于告訴學(xué)生答案，先讓學(xué)生思考并發(fā)表自己的見解，最后再用課件演示進(jìn)行說(shuō)明。
這樣設(shè)計(jì)的意圖是：以活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在“做”中學(xué)數(shù)學(xué)，通過(guò)畫橢圓，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，積累感性經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，我力求改變單一、被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，給他們提供一個(gè)自主探索學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓他們通過(guò)觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力。
（三）啟發(fā)引導(dǎo)，推導(dǎo)方程
提出了問題就要解決問題，怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？讓學(xué)生運(yùn)用研究直線與圓的方程的方法——坐標(biāo)法，去推導(dǎo)橢圓的方程。本環(huán)節(jié)我按如下幾個(gè)步驟進(jìn)行：
�。�1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)
我啟發(fā)學(xué)生類比求圓的方程的建系方法，建立適當(dāng)?shù)?直角坐標(biāo)系。學(xué)生可能會(huì)有如下幾種建系方案：
方案1：以定點(diǎn)F1為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)的連線為X軸；
方案2：以定點(diǎn)F2為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)的連線為X軸；
方案3：以兩定點(diǎn)的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸；
方案4：以兩定點(diǎn)的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。
方案１ 方案２ 方案３ 方案4
我加以引導(dǎo)：根據(jù)建立坐標(biāo)系的一般原則，使點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何量的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，并使得到的方程具有“對(duì)稱美”“簡(jiǎn)潔美”的特點(diǎn)，你們會(huì)選擇哪種方案呢？經(jīng)過(guò)討論，大多數(shù)學(xué)生可能會(huì)選擇方案3或方案4來(lái)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我表示贊同。按方案3建系，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)及相關(guān)常數(shù)。
�。�2）寫出動(dòng)點(diǎn)M滿足的集合
這里我啟發(fā)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義，寫出動(dòng)點(diǎn)M滿足的集合，即：
P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝
如果學(xué)生有困難，可以安排進(jìn)行小組討論交流。
(3)坐標(biāo)化
引導(dǎo)學(xué)生在設(shè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上,將前面得到的關(guān)系式用坐標(biāo)表示出來(lái)。這里學(xué)生不會(huì)有太大的困難,絕大多數(shù)學(xué)生都能得到方程:
(4)化簡(jiǎn)
帶根式的方程的化簡(jiǎn)，學(xué)生會(huì)感到困難,這也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。特別是由點(diǎn)適合的條件列出的方程為兩個(gè)二次根式的和等于一個(gè)非零常數(shù)的形式，化簡(jiǎn)時(shí)要進(jìn)行兩次平方,且方程中字母多,次數(shù)高，初中代數(shù)中沒有做過(guò)這樣的題目，教學(xué)時(shí)，要注意說(shuō)明這類方程的化簡(jiǎn)方法。一般來(lái)說(shuō)：
�、俜匠讨兄挥幸粋�(gè)二次根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一邊，把其它各項(xiàng)移到另一邊，平方一次；②方程中有兩個(gè)二次根式時(shí)，需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個(gè)根式，平方兩次。
接著讓學(xué)生自己動(dòng)手開始化簡(jiǎn)。我安排一名程度較好的學(xué)生上來(lái)板演，以便點(diǎn)評(píng)。待大多數(shù)學(xué)生都有了結(jié)果
之后，我指出：這個(gè)方程還不夠簡(jiǎn)潔對(duì)稱，讓學(xué)生觀察圖形：
提出問題：“你們能從圖中找出表示a、c、的線段嗎？”
通過(guò)觀察，學(xué)生容易得出結(jié)論，并理解了換元的合理性。這樣不僅使方程具有了對(duì)稱性，而且使字母b也有了明確的幾何意義。從而將方程簡(jiǎn)化為：告訴學(xué)生:可以證明它就是橢圓的方程，我們稱它為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
小結(jié)：這樣用坐標(biāo)法推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也是求曲線方程的一般方法，總結(jié)步驟為：（1）建系設(shè)點(diǎn)（2）寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的集合（3）列式（4）化簡(jiǎn)這樣設(shè)計(jì)的意圖是：使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動(dòng)的接受變成主動(dòng)的獲取。通過(guò)討論，讓學(xué)生互相交流，互相學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的合作意識(shí)和謙虛好學(xué)的品質(zhì)。在師生互動(dòng)的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，使他們的觀察能力、運(yùn)算能力、推理能力得到訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。并感受橢圓方程、圖形的對(duì)稱美，獲得成功的喜悅！
(四)拓展引申，對(duì)比分析
本環(huán)節(jié)我首先提出問題：“剛才我們得到了焦點(diǎn)在X軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？”
學(xué)生可能不假思索地回答：“按方案4建系再推一遍”。
我啟發(fā)：“可以，還有別的方法嗎？”
學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可以了，從而得到了焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
接下來(lái)，我通過(guò)表格的形式，讓學(xué)生對(duì)兩種方程進(jìn)行對(duì)比分析，強(qiáng)化對(duì)橢圓方程的理解。
橢圓的定義
分 類
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖 像
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
a. b .c關(guān)系
這樣設(shè)計(jì)的意圖是：通過(guò)填表，進(jìn)行對(duì)比總結(jié)，不僅使學(xué)生加深了對(duì)橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，而且使學(xué)生體會(huì)和學(xué)習(xí)類比的思想方法，為后邊雙曲線、拋物線及其它知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
�。ㄎ澹┓独虒W(xué)，鞏固練習(xí)
學(xué)會(huì)了知識(shí)就要運(yùn)用知識(shí)。我設(shè)計(jì)了如下例題：
【例1】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)的位置，并求其坐標(biāo)（口答）：
（1） ； （2） ； （3）.
【例2】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（－4，0）、F2（4，0），橢圓上任一點(diǎn)到F1、F2的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（￣，）。
(分析后多媒體顯示過(guò)程)
【強(qiáng)化提高——嫦娥奔月】
20xx年10月24日中國(guó)“嫦娥”一號(hào)衛(wèi)星成功實(shí)現(xiàn)第一次近月制動(dòng)，衛(wèi)星進(jìn)入距月球表面近月點(diǎn)高度約210公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度約8600公里，且以月球的球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道。已知月球半徑約3475公里，試求“嫦娥”一號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡方程。
這樣設(shè)計(jì)的意圖是:例1、例2從基礎(chǔ)入手，通過(guò)練習(xí)，使學(xué)生更好地理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，各個(gè)量之間的關(guān)系，掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。設(shè)計(jì)“嫦娥奔月”題，目的在于聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，逐層深入，由易到難，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究精神，而且使他們深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又服務(wù)于生活實(shí)際，學(xué)以致用。
�。w納小結(jié)，布置作業(yè)
到這里，本節(jié)課的主要內(nèi)容也學(xué)習(xí)完了，讓學(xué)生歸納總結(jié)，這節(jié)課學(xué)到了什么知識(shí)？掌握了什么方法？還有什么問題？教師再概括。
（1）歸納小結(jié)
�、賰煞N類型的橢圓方程的比較（注意板書內(nèi)容）
�、诳偨Y(jié)判斷焦點(diǎn)位置的方法。（看大�。�
�、矍笄�方程的方法：坐標(biāo)法，步驟：（1）（2）（3）（4）
（2）布置作業(yè)
1．必做題：教材P40 1，2，3
2．選做題：求與圓（x-2）2+y2=1外切，且與圓（x+2）2+y2=49內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程。
這樣設(shè)計(jì)的意圖是:歸納小結(jié)由學(xué)生來(lái)完成，使他們及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正自己學(xué)習(xí)中存在的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。作業(yè)由易到難，分必做題和選做題，體現(xiàn)分層教學(xué)的思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使各層次的學(xué)生都找到各自的學(xué)習(xí)區(qū)，進(jìn)一步促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。
六、板書設(shè)計(jì)
§2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、復(fù)習(xí)引入：
實(shí)驗(yàn)1
實(shí)驗(yàn)2
二、橢圓的定義：
1、定義
2、標(biāo)準(zhǔn)方程：
_x0000_s1053" alt="" />
三、填表
四、典例
例1
例2
強(qiáng)化提高
五、小結(jié)：xxx
六、布置作業(yè)
力求重點(diǎn)突出，整齊美觀。
七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
1、教育學(xué)家波利亞說(shuō)得好：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑即是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。”因此，我在教學(xué)時(shí)，盡力把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在自主探索中學(xué)到知識(shí)，掌握方法，提高能力。
2、在生活中找數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
3、整節(jié)課借助多媒體，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)意境，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動(dòng)，并巧妙的把待解決的問題轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的問題，讓學(xué)生在不知不覺中掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)。
這就是我對(duì)本節(jié)課的設(shè)計(jì)和說(shuō)明，希望大家批評(píng)指正！謝謝!
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