義務教育課程標準實驗教科書(五四分段) 數學五年級下冊
五年級第二學期是小學階段最后一個學期，使用五年級（下冊）教科書。這冊教科書里把教學內容編排成七個單元，前六個單元教學新知識，完成《數學課程標準（實驗稿）》規定的內容和任務。第七單元是總復習，目的是通過系統整理小學學過的數學知識，使學生進一步完善認知結構，進一步掌握數學的思想方法，進一步提高應用知識解決實際問題的能力。
本冊教材可以說將青島版小學數學的特色發揮并展示得淋漓盡致，主要有以下特點：
1．淡化生活情境，突出數學情境。
由“情境串”帶動“問題串”，是該套教材的一大亮點。在情境串的呈現上，教材根據學生的年齡及知識特點,隨著年級的升高,生活情境逐漸簡約。本冊教材突出表現為：一是創設有利于抽象數學知識的生活情境。如圓、圓柱與圓錐單元，呈現了生活中各種各樣的圓形、圓柱、圓錐形狀的物品作為情境；二是突出數學信息，淡化生活情境。如百分數單元，在假日旅游的背景下，更多呈現的是文字、圖形、表格等形式的數學信息，便于直接引入新知探索；三是創設純數學情境。如百分數單元的相關鏈結，小數、百分數、分數互化的知識以及第三個信息窗中綠點標示的問題，沒有在信息窗中呈現，而是在探索中直接給出。
2．突出研究數學問題的方法--“把現實問題轉化為數學問題，并利用已有知識和方法探索新知”。
這一研究方法主要是在合作探索中進行重墨體現。例如，探索圓柱、圓錐體積計算公式時，教材從現實問題“怎樣求冰淇淋盒的容積？”入手，引導學生把現實問題轉化成數學問題“怎樣求圓柱體的體積？”，學生聯想已有的知識經驗--圓面積的推導方法，猜想是否可以把圓柱體轉化成長方體推導出圓柱體的體積計算公式，最后通過操作、驗證，總結推導出圓柱體體積的計算公式，然后利用計算公式求出圓柱體的體積，解決冰淇淋盒容積的問題。
教材的這一基本模式，有利于學生從知識經驗和客觀現實出發，在研究具體問題的過程中學習、理解和應用數學。改變了以往單純教師講的“注入式”教學模式，既有利于學生掌握數學知識的內涵，又有利于引導學生學會數學的思想方法，提高解決問題的能力，發展良好的數學素養。
3．在教學內容的安排上重視知識的內在聯系。
這一特點體現在對知識的結構編排上，與傳統教材相比，立足于新舊知識的聯系進行了大膽地改革。例如，第三單元圓柱與圓錐的編寫，傳統教材的編排順序是：圓柱的認識--圓柱的表面積--圓柱的體積--圓錐的認識--圓錐的體積；本冊教材編排順序是：圓柱和圓錐的認識--圓柱的表面積--圓柱和圓錐的體積。這樣編排，可以通過對圓柱和圓錐特征、體積計算方法的對比學習，使學生建立知識間的內在聯系，加深對圓柱、圓錐的理解。又如，傳統教材是先學習比例尺，再學習正反比例的知識；而本冊教材是先學習正反比例的知識后再學習比例尺，這樣更有利于學生理解比例尺的意義，促進知識的遷移。
4．注重數學思想方法的滲透，努力培養學生解決問題的策略。
初步掌握一定的數學思想方法是學習數學的主要目標之一。編寫本冊教材時，特別關注數學思想方法的滲透。例如：在探索圓的面積計算方法時，教材通過圓的面積與圓內接正方形和圓外切正方形面積的比較，既估計了圓面積的大小范圍，又滲透了正多邊形逼近圓的方法，體現了極限的思想。又如，在探索圓周率和圓柱體積的計算方法時，教材滲透了直線圖形和曲線圖形的內在聯系，體現了“化曲為直”的思想方法。
5．總復習的編寫思路清晰，形式新穎。
總復習的編排可以說是青島版教材的又一大亮點。在教材送審的過程中，我們也了解到前幾套教材在送審的過程中均因總復習平淡而未獲通過。本套教材在總復習方面進行了獨特的編排，充分體現了青島版教材的思路與特色，將系統整理知識、數學思想與方法滲透、數學學習方法等進行了充分地展現。具體體現在以下幾點：
（1）結構編排層次分明、脈絡清晰，形成系統的網絡體系。總復習根據內容設計了不同層次的版塊，引領學生按知識體系有條理的回顧整理，把分散的知識點連成線、織成網、組成塊，形成良好的認知結構。
（2）重視數學學習策略與方法的總結和提升。傳統的總復習內容只包含知識與技能方面，而本教材既重視知識與技能的回顧整理，同時還注重學習策略與方法的回顧整理。教材設計了“知識與技能”和“策略與方法”兩大版塊。一方面，對小學階段所學的知識與技能進行回顧整理；另一方面，對整個小學階段教材中滲透的轉化、數形結合、模型化等數學思想方法，進行歸納、總結和提升，突出數學思想方法在學習數學中的重要作用，幫助學生提高解決問題的能力。
（3）采用新型的復習方式，注重教師引領與自我反思相結合。教材在知識與技能中設置了“討論與交流”、“應用與反思”兩個版塊。“討論與交流”版塊是提示學生去體會學習知識的價值以及與其他知識的聯系。如：“比的基本性質、分數的基本性質、商不變的性質三者之間有什么聯系？”這一問題的設計，目的是啟發教師要引領學生對比、分數、除法三者之間的關系及三個性質的內在聯系進行回顧整理；“應用與反思”版塊則通過一些綜合性的練習題目，使學生在具體的應用中自我檢測綜合運用知識的能力，查漏補缺，進一步豐富完善自己的認知結構。
（4）練習題少而精。傳統教材總復習部分的練習題量比較大，機械重復的內容較多。為了避免上述現象，本教材減少了練習題的數量，并精心設計每道練習題，使每道練習題都具有代表性和針對性，突出復習重點，減輕學生的學習負擔。
第一單元 完美的圖形--圓
該單元的名字稱的來歷：從生活的角度講，起點回歸終點，周而復始被稱為完美，圓有這個特點。從數學的角度講，圓也被稱為完美的圖形，因為在周長相等的所有圖形中，圓的面積最大；在面積相等的所有圖形中,圓的周長最短。正是基于兩方面的考慮，將圓單元確定為“完美的圖形”。
在數學教學的任何時候，我們都應著重于單元統籌的思想，無論是備課還是教學，都應著眼于單元統籌的安排。因此，立足于單元，在此我們統籌分析如下幾個方面：
一．教材地位
學生在第一學段已經直觀的認識了圓，以后又陸續學習了長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計算，在此基礎上本單元進一步學習圓的知識，為以后學習圓柱、圓錐等知識和繪制簡單扇形統計圖打好基礎。
二．單元教學目標
1、結合生活實際，通過觀察、操作等活動，認識圓及圓的對稱性，認識半徑、直徑，理解同一圓中直徑與半徑的關系，體會圓的特征及圓心和半徑的作用，會用圓規畫圓。
2、結合具體情境，通過動手拼擺等活動，理解圓周率的意義，掌握圓周率的近似值；掌握求圓的周長與面積的計算方法。
3、在探索圓的周長與面積的計算方法的過程中，體會“化曲為直”的思想，建立“現實問題--數學問題--聯想已有經驗--尋求方法--總結歸納--解釋應用”的“模型化”思想。
4、通過觀察、操作、想象、圖案設計等活動，發展空間觀念。
5、結合具體情境，體驗數學與日常生活的密切聯系，能用圓的知識來解釋生活中的簡單現象，解決一些簡單的實際問題。
6、通過了解圓周率的史料，感受科學的魅力，激發愛國情感。
三．單元教學內容
信息窗 主題 知識點
信息窗一 交通中的圓 圓的特征，包括認識圓心、半徑、直徑；圓的半徑、直徑特點及關系；圓規畫圓
信息窗二 建筑中的圓 圓周長意義、計算方法；了解圓周率的含義及圓周率的史料；已知圓直徑、半徑求周長；
信息窗三 航天中的圓 圓面積意義、計算方法；已知圓直徑、半徑、周長求面積；環形面積；
四．單元編排突出特點
1．提供廣泛的生活情境，由表及里，使學生充分體驗圓的美的同時，學習知識。
本單元教材從情境到自主練習，提供了生活中廣泛存在的圓，既有交通中的圓（各式各樣的從古到今的車輪），也有建筑中（天壇）、航天中（神五降落傘）的圓，包含了大自然（水波、巨石陣）、動植物（花、獅子領地、樹冠）、人類生活中（石碾、錢幣、噴灌、旱冰場、圓桌、光盤）的圓，體現了圓的無處不在。通過這些廣泛的素材，使學生對圓的認識由表象到抽象，深深地印在頭腦中。
2．滲透探索數學問題的一般方法，進一步發展學生的轉化策略和推理能力。
圓是小學數學里最后教學的一個平面圖形，也是小學數學中的惟一一個曲線圖形。本單元在安排圓的基礎知識的同時，滲透了“現實問題--數學問題--聯想--實驗--總結--應用”的探索方法，在圓的認識、圓的周長、圓的面積知識的探索時，都由生活中的問題提出數學問題引入探究，聯想以前所學的知識動手操作，進行實驗，直至發現總結出規律，運用規律解決問題。這種探索的方法教材在合作探索中體現得非常明顯，可使學生初步體會探究數學問題的一般方法。同時，通過化曲為直、化圓為方的方法與手段，進一步發展學生轉化的策略和推理能力。
3．突出科學性，感受人類的智慧。
輪子設計成圓形的、天壇中祈年殿頂周長30丈（100米）、神五艙的降落范圍等，都蘊含著科學知識，通過對這些內容的學習，使學生不僅掌握了知識也明白了其在生活中運用的科學道理，體現了古代和現代利用圓的知識所取得的偉大成就，使學生體會圓的科學價值，進而激發學習的興趣。
五．單元課時統籌（共8課時）
圓的認識 圓的周長 圓的面積 回顧整理
探索+練習：1課時 合作探索圓周長、介紹圓周率史料：1課時 合作探索圓面積：2課時 1課時
自主應用求周長及求直徑、半徑+練習：1課時 自主解決圓面積應用、環形面積+基本練習：1課時
鞏固綜合練習：1課時
六．信息窗教學建議
信息窗一：交通中的圓
1、教學內容：圓的認識。
2、信息窗的介紹：這個信息窗向學生呈現的是古代、近代、現代交通工具，目的是讓學生通過觀察發現，隨著時代的變遷，交通工具的外觀、性能發生了很大的變化，但它們的輪子都是圓形的。 “輪子為什么是圓的？”學生由此產生疑問，引發對圓的認識的學習。
例題的設置：
紅點部分學習的內容包括圓的各部分名稱、圓的特征和用圓規畫圓。
3、信息窗教學建議：
（一）由情境圖，提出生活中的實際問題。
教學時，可引導學生觀察情境圖，讓學生說一說圖中畫的是什么？前兩種學生可能感覺比較陌生，可簡單地向學生介紹。讓學生知道它們是古代、近代、現代的交通工具。然后再引導學生觀察，這些交通工具隨著社會的進步，科技的發展，它們的外觀、性能發生了很大的變化，但有一點卻始終沒變，學生馬上就會發現它們的輪子都是圓形的。“輪子為什么都設計成圓形的呢”自然引入對圓認識的學習。
（二）讓學生動手操作，重視通過推理、想象等數學方法得出圓的特征。
對圓的認識這一內容的安排，有兩種思路：一種是先認識圓的各部分名稱和主要特征，再教學用圓規畫圓；一種是先教學畫圓，再認識圓的各部分名稱和主要特征。第一種思路，有利于學生對圓的主要特征的接受，用圓規畫圓的教學是側重讓學生掌握畫圓的技能；第二種思路則讓學生通過畫圓，形成對圓的直觀感受，在此基礎上，提升學生對圓的特征的認識。這樣更符合學生由感性認識過渡到理性認識的認知規律，也有利于改善學生的學習方式。本教材就從畫圓引入。
學會用圓規畫圓這是本節課的目標之一。但上來就教學生用圓規畫圓，學生感覺不到它的優勢。為了讓學生認識圓規，了解它的作用，可以設計這樣的操作活動：不加任何限制，讓每個學生動手畫一個圓。第一種是學生不借助任何物體，畫一個圓。第二種是學生借助有關的物體描出一個圓。如：硬幣、瓶蓋等等。第三種就是借助工具（如：釘子、繩子、筆或者圓規）畫圓。然后讓學生說一說不同的操作過程，效果怎樣，有什么感受。使學生體會到，用工具畫圓比不用工具畫圓容易，效果也好一些，但還是有一些局限性，要規范畫圓，就要使用畫圓的工具-圓規。使學生在操作活動中親身體會到知識發生、發展的過程。
引導比較，思考不同工具畫圓之間的聯系。得出：借助工具畫圓，都要固定一點、固定長度、旋轉一周。當學生比較得出畫圓的三個要素后，請學生帶著這樣的問題自學課本：通過比較，我們找到畫圓之間的聯系，那么數學上對于它們是不是有專門的名稱呢？請學生打開書本看一看、找一找。
教學“圓的認識”中有關半徑、直徑間的關系是一個重點。如果教師直接讓學生在畫好的圖中量一量半徑、直徑的長度，然后告訴學生“在同圓（或等圓）里直徑是半徑的2倍”這個結論，這樣的操作就是走形式，學生只能是被動地接受，沒有達到操作的目的。在操作中注重學生進行推理、想象等數學的思考。教學中，可以向學生拋出這樣的問題：“你們猜想一下，同一圓中有多少條直徑與半徑，直徑與半徑有什么關系？你能否用不同的方法證明直徑與半徑有關系，有什么樣的關系?”這簡短而又帶有挑戰性的問題，促使學生在無框架的約束下，積極進行創造性思維。教學時，可以讓學生先展開想象，然后進行驗證。驗證時，有的可能采用 “折”的方法，有的可能通過“畫一畫、量一量”的方法，通過小組的操作，群體的交流，最終歸納出“圓有無數條半徑”“圓有無數條直徑”“同一個圓里，所有的直徑（半徑）都相等”“同圓（等圓）內直徑是半徑的2倍”等結論。這樣的操作活動既能滿足學生的求知愿望和表現欲望，又有利于挖掘學生潛在的創新潛能，同時也加快了學生由形象思維向邏輯思維過渡的進程，使操作活動落實到實處。
（三）解釋輪子為什么設計成圓形的道理。
在學生充分認識到圓的特征后，引導學生解釋輪子為什么設計成圓形的。即：道路是平的，因為圓的半徑都相等，用圓形車輪行駛時平穩。車軸應裝在圓心位置。
4．教學中注意的問題：
（一）要通過畫圓，培養學生由表及里、由淺入深的思維習慣。
課上通過展示不同工具畫圓的方法，引導學生對這些畫圖方法的聯系進行思考，一方面讓學生得以理解畫圓的原理，另一方面使學生從中得到啟發，即學習要善于從不同的現象中發現本質的聯系。
學生比較得出畫圓時需要“固定一點”“固定長度”“旋轉一周”后，要求他們在書上找到相對應的數學名稱。在這個過程中，學生要經過分析、判斷等一系列的思維過程才能找到相對應的概念。這樣處理，比起直接讓學生自學，然后照本宣科讀一讀什么是圓心、半徑、直徑的思維價值要高，更能促使學生實現概念的內化。
（二）可以充分利用史料，使其成為學生發現問題、研究問題的素材，發揮其數學的文化價值。
A、可挖掘單元題目，引用古希臘數學家的話，引發學生區別圓與其他平面圖形不同的興趣，得出圓是曲線圖形。
可在學生體會到圓在生活中隨處可見后，引發學生思考：古希臘一位數學家曾說過，在所有的平面圖形中，圓是最美的。本單元的題目也是命名為完美的圖形。圓與我們學過的平面圖形有什么不同？而被這位數學家認為是最美的呢？因為有科學家參與的話題，所以學生思考的積極性更高，更能助于他們發現圓與其他平面圖形的不同之處。
B、引用墨子對圓的研究，鞏固圓的特征的認識。
在新課結束后，可出示墨子的一句話：圓，一中同長也。請學生用學習的知識解釋這句話的含義。這簡短的一句文言文，包含了圓的主要特征。學生在閱讀后，不僅可以了解古代關于圓的史料記載，還可以鞏固對圓的特征的認識。
C．引用《周髀算經》中關于圓的記載，拓展對圓的認識。
《周髀算經》對于圓有這樣的記載：圓出自于方，方出于矩。事實上，古時畫圓的方法現今在生活中還經常用，可進一步引導學生思考，如果正方形的邊長是16厘米，由此能想到什么？設計這樣的問題，一方面可以豐富學生的畫圓方法，同時也可以引導學生關注圓與正方形的關系，為后續學習埋下伏筆。
5．練習教學建議：
自主練習的第1題：是聯系生活經驗的題目。呈現的是風車、摩天輪、直升飛機的螺旋槳這三種物體的運動現象，目的是讓學生通過觀察和想象發現這些物體運動的軌跡是圓形的。
第5題，通過火眼金睛辯對錯，不僅使學生能正確地判別，還要使學生進一步地認識到圓有無數條對稱軸，直徑所在的直線就是它的對稱軸，并能畫出圓的對稱軸，注意畫時畫成直線及畫點劃線；圓的大小是由半徑或直徑決定的，圓的位置是由圓心決定的。
自主練習的第7題：是一道綜合性很強的題目。此題綜合了圓、數對、平移等知識。練習時，教師應為學生提供充分探索交流的時間，必要時給予一定的指導。（平移時一個要注意方向，另一個要注意距離，對學生來說平移的方向一般不會出現問題，而平移的距離較易出錯，教師應注意引導學生如何確定平移的距離。）此題的答案是：（1）圓心的位置（2，6）；（2）平移后的圓心所在的位置是（5，4）；（3）圓心所在的位置是（11，4），半徑是2個格。
第8題是活動中體會圓特點的題目。通過圖示認識到這樣比賽是不公平的，有的近有的遠，想到每人應該距離瓶子相等，也就是設計成圓形的。對于操場上畫圓，應該放在課后去試一試，也可以先讓學生想方法交流在操場上畫圓的方法。進行交流，如在操場上選一個位置作圓心，先在繩子的一端系上粉筆，再把繩子的另一端固定在圓心上，然后拉緊繩子繞圓心轉一圈，在圓上任意找出6個點，作為選手的套圈位置。
第10題：是設計圖案的題目。練習時，可讓學生充分發揮想象力，自主創新，并注意引導學生進行交流和點評。第一幅圖學生通過仔細觀察，應該比較容易找到規律：大圓套小圓，且內切于大圓上一點，注意圓心在同一直線上。第二幅圖對學生來說難度較大，要畫出此圖形是以圓內接正方形的四個頂點為圓心，以圓的半徑為半徑畫圓，要注意指導學生確定好四個半圓圓心的位置。
第11*題是選做題，不作考試要求。練習時，先讓學生明確第（1）小題是要求畫出正方形的內切圓，且圓的直徑等于正方形的邊長；第（2）小題是要求畫出正方形的外接圓，圓的直徑等于正方形的對角線。
“課外實踐”是靈活運用所學知識解決實際問題的題目。練習時，可讓學生自主地進行操作，尋求測量的方法。活動結束后，注意引導學生進行交流點評。可以用以下方法進行測量：
“你知道嗎？”通過文字介紹和直觀圖向學生介紹什么是扇形，這里只要求學生直觀了解，不作教學要求。