高中數學知識點總結

時間：2025-05-24 08:36:13 晶敏知識點總結我要投稿

【推薦】高中數學知識點總結

　　總結是指社會團體、企業單位和個人在自身的某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成后進行回顧檢查、分析評價，從而肯定成績，得到經驗，找出差距，得出教訓和一些規律性認識的一種書面材料，它可以給我們下一階段的學習和工作生活做指導，不如我們來制定一份總結吧。那么總結應該包括什么內容呢？以下是小編收集整理的高中數學知識點總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

【推薦】高中數學知識點總結

　　一、圓及圓的相關量的定義

　　1.平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。

　　2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫

　　做直徑。

　　3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

　　4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。

　　5.直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有2個公共點為相交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。

　　6.兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

　　7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。

　　二、有關圓的字母表示方法

　　圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d

　　扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S三、有關圓的基本性質與定理（27個）

　　1.點P與圓O的位置關系（設P是一點，則PO是點到圓心的距離）：

　　P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O內，PO

　　2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

　　3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定

　　理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

　　4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。

　　5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

　　6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

　　7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。

　　8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形3個頂點距離相等；內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。

　　9.直線AB與圓O的位置關系（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距

　　離）：

　　AB與⊙O相離，PO>r；AB與⊙O相切，PO=r；AB與⊙O相交，PO

　　10.圓的切線垂直于過切點的直徑；經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。

　　11.圓與圓的位置關系（設兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P）：

　　外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r

　　三、有關圓的計算公式

　　1.圓的周長C=2πr=πd

　　2.圓的面積S=s=πr?

　　3.扇形弧長l=nπr/180

　　4.扇形面積S=nπr? /360=rl/2

　　5.圓錐側面積S=πrl

　　四、圓的方程

　　1.圓的標準方程

　　在平面直角坐標系中，以點O（a,b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是

　　（x-a）^2+（y-b）^2=r^2

　　2.圓的一般方程

　　把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是

　　x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

　　和標準方程對比，其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2

　　相關知識：圓的離心率e=0.在圓上任意一點的曲率半徑都是r.

　　五、圓與直線的位置關系判斷

　　平面內，直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是

　　討論如下2種情況：

　　（1）由Ax+By+C=O可得y=（-C-Ax）/B,[其中B不等于0],

　　代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成為一個關于x的一元二次方程f（x）=0.

　　利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下：

　　如果b^2-4ac>0,則圓與直線有2交點，即圓與直線相交

　　如果b^2-4ac=0,則圓與直線有1交點，即圓與直線相切

　　如果b^2-4ac<0,則圓與直線有0交點，即圓與直線相離

　　（2）如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y軸（或垂直于x軸）

　　將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2

　　令y=b,求出此時的兩個x值x1,x2,并且我們規定x1

　　當x=-C/Ax2時，直線與圓相離

　　當x1

　　當x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時，直線與圓相切

　　圓的定理：

　　1.不在同一直線上的三點確定一個圓。

　　2.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

　　推論1.①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

　　②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

　　③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

　　推論2.圓的兩條平行弦所夾的弧相等

　　3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

　　4.圓是定點的距離等于定長的點的集合

　　5.圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

　　6.圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

　　7.同圓或等圓的半徑相等

　　8.到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

　　9.定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

　　10.推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

　　11.定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角

　　12.①直線L和⊙O相交 d

　　②直線L和⊙O相切 d=r

　　③直線L和⊙O相離 d>r

　　13.切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

　　14.切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑

　　15.推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

　　16.推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

　　17.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

　　18.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等外角等于內對角

　　19.如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

　　20.①兩圓外離 d>R+r ②兩圓外切 d=R+r

　　③兩圓相交 R-rr）

　　④兩圓內切 d=R-r（R>r） ⑤兩圓內含dr）

　　21.定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

　　22.定理把圓分成n（n≥3）：

　　（1）依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

　　（2）經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

　　23.定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

　　24.正n邊形的每個內角都等于（n-2）×180°/n

　　25.定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

　　26.正n邊形的面積Sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長

　　27.正三角形面積√3a/4 a表示邊長

　　28.如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為 360°，因此k×（n-2）180°/n=360°化為（n-2）（k-2）=4

　　29.弧長計算公式：L=n兀R/180

　　30.扇形面積公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2

　　31.內公切線長= d-（R-r）外公切線長= d-（R+r）

　　32.定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

　　33.推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

　　34.推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

　　35.弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

　　導數及其應用

　　一．導數概念的引入

　　1.導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率是

　　x0limf(x0x)f(x0)，

　　x我們稱它為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

　　x例1．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：

　　s)存在函數關系

　　h(t)4.9t26.5t10

　　運動員在t=2s時的瞬時速度是多少？解：根據定義

　　vh(2)limh(2x)h(2)13.1

　　x0x即該運動員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下

　　2.導數的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點Pn趨近于P時，直線PT與

　　曲線相切。容易知道，割線PPn的斜率是knf(xn)f(x0)，當點Pn趨近于P時，

　　xnx0函數yf(x)在xx0處的導數就是切線PT的斜率k，即klimx0f(xn)f(x0)f(x0)

　　xnx03.導函數：當x變化時，f(x)便是x的一個函數，我們稱它為f(x)的導函數.yf(x)的導函數有時也記作y,即f(x)lim

　　二.導數的計算

　　1.函數yf(x)c的導數2.函數yf(x)x的導數3.函數yf(x)x的導數

　　2x0f(xx)f(x)

　　4.函數yf(x)1的導數x基本初等函數的導數公式:

　　1若f(x)c(c為常數)，則f(x)0；

　　2若f(x)x,則f(x)x1;

　　3若f(x)sinx,則f(x)cosx

　　4若f(x)cosx,則f(x)sinx;

　　5若f(x)ax,則f(x)axlna6若f(x)e,則f(x)e

　　xx1xlna18若f(x)lnx,則f(x)

　　xx7若f(x)loga,則f(x)導數的運算法則

　　1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

　　2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

　　3.[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]

　　2復合函數求導

　　yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數,即yf(g(x))為一個復合函數yf(g(x))g(x)

　　三.導數在研究函數中的應用

　　1.函數的單調性與導數:

　　一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系：

　　在某個區間(a,b)內，如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區間單調遞增；如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區間單調遞減.2.函數的極值與導數

　　極值反映的是函數在某一點附近的大小情況.求函數yf(x)的極值的方法是:

　　(1)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極大值;

　　(2)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極小值;

　　4.函數的最大(小)值與導數

　　函數極大值與最大值之間的關系.

　　求函數yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟

　　（1）求函數yf(x)在(a,b)內的極值；

　　（2）將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.

　　四.生活中的優化問題

　　利用導數的知識,求函數的最大(小)值,從而解決實際問題

　　第二章推理與證明

　　考點一合情推理與類比推理

　　根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理

　　根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理.

　　類比推理的一般步驟:

　　(1)找出兩類事物的相似性或一致性;

　　(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明確的命題(猜想);

　　(3)一般的,事物之間的各個性質并不是孤立存在的,而是相互制約的如果兩個事物在某些性質上相同或相似,那么他們在另一寫性質上也可能相同或類似,類比的結論可能是真的

　　(4)一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質與推測的性質之間越相關,那么類比得出的命題越可靠.

　　考點二演繹推理(俗稱三段論)

　　由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.

　　考點三數學歸納法

　　1.它是一個遞推的數學論證方法.

　　2.步驟:A.命題在n=1（或n0）時成立，這是遞推的基礎；B.假設在n=k時命題成立C.證明n=k+1時命題也成立,

　　完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(或n>=n0,且nN)結論都成立。

　　考點三證明

　　1.反證法:

　　2.分析法:

　　3.綜合法:

　　第一章數系的擴充和復數的概念考點一:復數的概念

　　(1)復數:形如abi(aR,bR)的數叫做復數，a和b分別叫它的實部和虛部.

　　(2)分類:復數abi(aR,bR)中,當b0,就是實數;b0,叫做虛數;當a0,b0時,叫做純虛數.

　　(3)復數相等:如果兩個復數實部相等且虛部相等就說這兩個復數相等.

　　(4)共軛復數:當兩個復數實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數互為共軛復數.

　　(5)復平面:建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。

　　(6)兩個實數可以比較大小，但兩個復數如果不全是實數就不能比較大小。

　　數學歸納法的基本步驟

　　一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n)，有如下步驟：

　　（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；

　　（2)假設當n=k(k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

　　綜合(1)(2)，對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立。

　　第二數學歸納法

　　數學歸納法的基本步驟：

　　對于某個與自然數有關的命題P(n)，（1）驗證n=n0時P(n)成立；

　　（2）假設n0≤n

　　綜合(1)(2)，對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立。

　　倒推歸納法（反向歸納法）

　　（1）驗證對于無窮多個自然數n命題P(n)成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對于算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；

　　（2）假設P(k+1)(k≥n0)成立，并在此基礎上，推出P(k)成立，綜合(1)(2)，對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立；

　　螺旋式歸納法

　　對兩個與自然數有關的命題P(n)，Q(n)，（1）驗證n=n0時P(n)成立；

　　（2）假設P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假設 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；綜合(1)(2)，對一切自然數n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

　　數學歸納法：數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。

　　高考數學導數知識點

　　（一）導數第一定義

　　設函數y = f（x）在點x0的某個領域內有定義，當自變量x在x0處有增量△x（x0 + △x也在該鄰域內）時，相應地函數取得增量△y = f（x0 + △x）— f（x0）；如果△y與△x之比當△x→0時極限存在，則稱函數y = f（x）在點x0處可導，并稱這個極限值為函數y = f（x）在點x0處的導數記為f（x0），即導數第一定義

　　（二）導數第二定義

　　設函數y = f（x）在點x0的某個領域內有定義，當自變量x在x0處有變化△x（x — x0也在該鄰域內）時，相應地函數變化△y = f（x）— f（x0）；如果△y與△x之比當△x→0時極限存在，則稱函數y = f（x）在點x0處可導，并稱這個極限值為函數y = f（x）在點x0處的導數記為f（x0），即導數第二定義

　　（三）導函數與導數

　　如果函數y = f（x）在開區間I內每一點都可導，就稱函數f（x）在區間I內可導。這時函數y = f（x）對于區間I內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數y = f（x）的導函數，記作y，f（x），dy/dx，df（x）/dx。導函數簡稱導數。

　　（四）單調性及其應用

　　1。利用導數研究多項式函數單調性的一般步驟

　　（1）求f￠（x）

　　（2）確定f￠（x）在（a，b）內符號（3）若f￠（x）>0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數；若f￠（x）<0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數

　　2。用導數求多項式函數單調區間的一般步驟

　　（1）求f￠（x）

　　（2）f￠（x）>0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；f￠（x）<0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間

　　高中數學重難點知識點

　　高中數學包含5本必修、2本選修，（理）包含5本必修、3本選修，每學期學習兩本書。

　　必修一：1、集合與函數的概念（這部分知識抽象，較難理解）2、基本的初等函數（指數函數、對數函數）3、函數的性質及應用（比較抽象，較難理解）

　　必修二：1、立體幾何（1）、證明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夾角問題，包括線面角和面面角

　　這部分知識是高一學生的難點，比如：一個角實際上是一個銳角，但是在圖中顯示的鈍角等等一些問題，需要學生的立體意識較強。這部分知識高考占22———27分

　　2、直線方程：高考時不單獨命題，易和圓錐曲線結合命題

　　3、圓方程：

　　必修三：1、算法初步：高考必考內容，5分（選擇或填空）2、統計：3、概率：高考必考內容，09年理科占到15分，文科數學占到5分

　　必修四：1、三角函數：（圖像、性質、高中重難點，）必考大題：15———20分，并且經常和其他函數混合起來考查

　　2、平面向量：高考不單獨命題，易和三角函數、圓錐曲線結合命題。09年理科占到5分，文科占到13分

　　必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等變換）高考中理科占到22分左右，文科數學占到13分左右2、數列：高考必考，17———22分3、不等式：（線性規劃，聽課時易理解，但做題較復雜，應掌握技巧。高考必考5分）不等式不單獨命題，一般和函數結合求最值、解集。

　　高中數學知識點大全

　　一、集合與簡易邏輯

　　1、集合的元素具有確定性、無序性和互異性。

　　2、對集合，時，必須注意到“極端”情況：或；求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集。

　　3、判斷命題的真假關鍵是“抓住關聯字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”。

　　4、“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”。

　　5、四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”。

　　原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價。反證法分為三步：假設、推矛、得果。

　　6、充要條件

　　二、函數

　　1、指數式、對數式，

　　2、（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”。

　　（2）函數圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個。

　　（3）函數圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像。

　　3、單調性和奇偶性

　　（1）奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同。

　　偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反。

　　（2）復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”。

　　復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”。復合函數要考慮定義域的變化。（即復合有意義）

　　4、對稱性與周期性（以下結論要消化吸收，不可強記）

　　（1）函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱。

　　推廣一：如果函數對于一切，都有成立，那么的圖像關于直線（由“和的一半確定”）對稱。

　　推廣二：函數，的圖像關于直線對稱。

　　（2）函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱。

　　（3）函數與函數的圖像關于坐標原點中心對稱。

　　三、數列

　　1、數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前項和公式的關系

　　2、等差數列中

　　（1）等差數列公差的取值與等差數列的單調性。

　　（2）也成等差數列。

　　（3）兩等差數列對應項和（差）組成的新數列仍成等差數列。

　　（4）仍成等差數列。

　　（5）“首正”的遞等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和；

　　（6）有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定。若總項數為偶數，則“偶數項和“奇數項和=總項數的一半與其公差的積；若總項數為奇數，則“奇數項和—偶數項和”=此數列的中項。

　　（7）兩數的等差中項惟一存在。在遇到三數或四數成等差數列時，常考慮選用“中項關系”轉化求解。

　　（8）判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式）。

　　3、等比數列中：

　　（1）等比數列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數列的首項、公比與等比數列的單調性。

　　（2）兩等比數列對應項積（商）組成的新數列仍成等比數列。

　　（3）“首大于1”的正值遞減等比數列中，前項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數列中，前項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

　　（4）有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定。若總項數為偶數，則“偶數項和”=“奇數項和”與“公比”的積；若總項數為奇數，則“奇數項和“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和。

　　（5）并非任何兩數總有等比中項。僅當實數同號時，實數存在等比中項。對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對。也就是說，兩實數要么沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）。在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中項關系”轉化求解。

　　（6）判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（也就是說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式）。

　　4、等差數列與等比數列的聯系

　　（1）如果數列成等差數列，那么數列（總有意義）必成等比數列。

　　（2）如果數列成等比數列，那么數列必成等差數列。

　　（3）如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列；但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。

　　（4）如果兩等差數列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數。

　　如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項，并構成新的數列。

　　5、數列求和的常用方法：

　　（1）公式法：①等差數列求和公式（三種形式），

　　②等比數列求和公式（三種形式），

　　（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。

　　（3）倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）。

　　（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉化為“一個新的的等比數列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數列的項數是原數列的項數減一的差”！）（這也是等比數列前和公式的推導方法之一）。

　　（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和

　　（6）通項轉換法。

　　四、三角函數

　　1、終邊與終邊相同（的終邊在終邊所在射線上）。

　　終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）。

　　終邊與終邊關于軸對稱

　　終邊與終邊關于原點對稱

　　一般地：終邊與終邊關于角的終邊對稱。

　　與的終邊關系由“兩等分各象限、一二三四”確定。

　　2、弧長公式：，扇形面積公式：1弧度（1rad）。

　　3、三角函數符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正。

　　4、三角函數線的特征是：正弦線“站在軸上（起點在軸上）”、余弦線“躺在軸上（起點是原點）”、正切線“站在點處（起點是）”。務必重視“三角函數值的大小與單位圓上相應點的坐標之間的關系，‘正弦’‘縱坐標’、‘余弦’‘橫坐標’、‘正切’‘縱坐標除以橫坐標之商’”；務必記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關系為銳角

　　5、三角函數同角關系中，平方關系的運用中，務必重視“根據已知角的范圍和三角函數的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；

　　6、三角函數誘導公式的本質是：奇變偶不變，符號看象限。

　　7、三角函數變換主要是：角、函數名、次數、系數（常值）的變換，其核心是“角的變換”！

　　角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換。

　　8、三角函數性質、圖像及其變換：

　　（1）三角函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和周期性

　　（2）三角函數圖像及其幾何性質：

　　（3）三角函數圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換。

　　（4）三角函數圖像的作法：三角函數線法、五點法（五點橫坐標成等差數列）和變換法。

　　9、三角形中的三角函數：

　　（1）內角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余。銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方。

　　（2）正弦定理：（R為三角形外接圓的半徑）。

　　（3）余弦定理：常選用余弦定理鑒定三角形的類型。

　　五、向量

　　1、向量運算的幾何形式和坐標形式，請注意：向量運算中向量起點、終點及其坐標的特征。

　　2、幾個概念：零向量、單位向量（與共線的單位向量是，平行（共線）向量（無傳遞性，是因為有）、相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（在上的投影是）。

　　3、兩非零向量平行（共線）的充要條件

　　4、平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數，使a= e1+ e2。

　　5、三點共線；

　　6、向量的數量積：

　　六、不等式

　　1、（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。

　　（2）解分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，x的系數變為正值，標根及奇穿過偶彈回）；

　　（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據定義分類討論、平方轉化或換元轉化）；

　　（4）解含參不等式常分類等價轉化，必要時需分類討論。注意：按參數討論，最后按參數取值分別說明其解集，但若按未知數討論，最后應求并集。

　　2、利用重要不等式以及變式等求函數的最值時，務必注意a，b（或a，b非負），且“等號成立”時的條件是積ab或和a+b其中之一應是定值（一正二定三等四同時）。

　　3、常用不等式有：（根據目標不等式左右的運算結構選用）

　　a、b、c R，（當且僅當時，取等號）

　　4、比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數性質法、綜合法、分析法

　　5、含絕對值不等式的性質：

　　6、不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題

　　（1）恒成立問題

　　若不等式在區間上恒成立，則等價于在區間上

　　（2）能成立問題

　　（3）恰成立問題

　　若不等式在區間上恰成立，則等價于不等式的解集為。

　　若不等式在區間上恰成立，則等價于不等式的解集為，

　　七、直線和圓

　　1、直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義（或）及其直線方程的向量式（（為直線的方向向量））。應用直線方程的點斜式、斜截式設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時，即斜率k不存在的情況？

　　2、知直線縱截距，常設其方程為或；知直線橫截距，常設其方程為（直線斜率k存在時，為k的倒數）或知直線過點，常設其方程為。

　　（2）直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0。直線兩截距相等直線的斜率為—1或直線過原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點。

　　（3）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合。

　　3、相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是。而其到角是帶有方向的角，范圍是

　　4、線性規劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標函數、最優解。

　　5、圓的方程：最簡方程；標準方程；

　　6、解決直線與圓的關系問題有“函數方程思想”和“數形結合思想”兩種思路，等價轉化求解，重要的是發揮“圓的平面幾何性質（如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）的作用！”

　　（1）過圓上一點圓的切線方程

　　過圓上一點圓的切線方程

　　如果點在圓外，那么上述直線方程表示過點兩切線上兩切點的“切點弦”方程。

　　如果點在圓內，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于（為圓心）的直線方程，（為圓心到直線的距離）。

　　7、曲線與的交點坐標方程組的解；

　　過兩圓交點的圓（公共弦）系為，當且僅當無平方項時，為兩圓公共弦所在直線方程。

　　八、圓錐曲線

　　1、圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩焦點（兩相異定點），那么將優先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準線（一定點和不過該點的一定直線）或離心率，那么將優先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質的應用。

　　（1）注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用；

　　②圓錐曲線第二定義是：“點點距為分子、點線距為分母”，橢圓點點距除以點線距商是小于1的正數，雙曲線點點距除以點線距商是大于1的正數，拋物線點點距除以點線距商是等于1。

　　2、圓錐曲線的幾何性質：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢。其中，橢圓中、雙曲線中。

　　重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其‘頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點。

　　3、在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，有“函數方程思想”和“數形結合思想”兩種思路，等價轉化求解。特別是：

　　①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構成的方程組有實數解，當出現一元二次方程時，務必“判別式≥0”，尤其是在應用韋達定理解決問題時，必須先有“判別式≥0”。

　　②直線與拋物線（相交不一定交于兩點）、雙曲線位置關系（相交的四種情況）的特殊性，應謹慎處理。

　　③在直線與圓錐曲線的位置關系問題中，常與“弦”相關，“平行弦”問題的關鍵是“斜率”、“中點弦”問題關鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關鍵是長度（弦長）公式

　　④如果在一條直線上出現“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率”為橋梁轉化。

　　4、要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數法、定義法、直譯法、代點法、參數法、交軌法、向量法等），以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質（定義法、幾何法、代數法、方程函數思想、數形結合思想、分類討論思想和等價轉化思想等），這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發點。

　　注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。

　　②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響。

　　③在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合（如角平分線的雙重身份）、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等。

　　九、直線、平面、簡單多面體

　　1、計算異面直線所成角的關鍵是平移（補形）轉化為兩直線的夾角計算

　　2、計算直線與平面所成的角關鍵是作面的垂線找射影，或向量法（直線上向量與平面法向量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理），或先運用等積法求點到直線的距離，后虛擬直角三角形求解。注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等斜線在平面上射影為角的平分線。

　　3、空間平行垂直關系的證明，主要依據相關定義、公理、定理和空間向量進行，請重視線面平行關系、線面垂直關系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用。注意：書寫證明過程需規范。

　　4、直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關于側棱、側面、對角面、平行于底的截面的幾何體性質。

　　如長方體中：對角線長，棱長總和為，全（表）面積為，（結合可得關于他們的等量關系，結合基本不等式還可建立關于他們的不等關系式），

　　如三棱錐中：側棱長相等（側棱與底面所成角相等）頂點在底上射影為底面外心，側棱兩兩垂直（兩對對棱垂直）頂點在底上射影為底面垂心，斜高長相等（側面與底面所成相等）且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心。

　　5、求幾何體體積的常規方法是：公式法、割補法、等積（轉換）法、比例（性質轉換）法等。注意：補形：三棱錐三棱柱平行六面體

　　6、多面體是由若干個多邊形圍成的幾何體。棱柱和棱錐是特殊的多面體。

　　正多面體的每個面都是相同邊數的正多邊形，以每個頂點為其一端都有相同數目的棱，這樣的多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

　　7、球體積公式。球表面積公式，是兩個關于球的幾何度量公式。它們都是球半徑及的函數。

　　十、導數

　　1、導數的意義：曲線在該點處的切線的斜率（幾何意義）、瞬時速度、邊際成本（成本為因變量、產量為自變量的函數的導數，C為常數）

　　2、多項式函數的導數與函數的單調性

　　在一個區間上（個別點取等號）在此區間上為增函數。

　　在一個區間上（個別點取等號）在此區間上為減函數。

　　3、導數與極值、導數與最值：

　　（1）函數處有且“左正右負”在處取極大值；

　　函數在處有且左負右正”在處取極小值。

　　注意：①在處有是函數在處取極值的必要非充分條件。

　　②求函數極值的方法：先找定義域，再求導，找出定義域的分界點，列表求出極值。特別是給出函數極大（小）值的條件，一定要既考慮，又要考慮驗“左正右負”（“左負右正”）的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記。

　　③單調性與最值（極值）的研究要注意列表！

　　（2）函數在一閉區間上的最大值是此函數在此區間上的極大值與其端點值中的“最大值”

　　函數在一閉區間上的最小值是此函數在此區間上的極小值與其端點值中的“最小值”；

　　注意：利用導數求最值的步驟：先找定義域再求出導數為0及導數不存在的的點，然后比較定義域的端點值和導數為0的點對應函數值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為最小。

　　高中數列基本公式：

　　1、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=

　　2、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關于n的一次式;當d=0時，an是一個常數。

　　3、等差數列的前n項和公式：Sn=

　　Sn=

　　當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0;當d=0時(a1≠0)，Sn=na1是關于n的正比例式。

　　4、等比數列的通項公式： an= a1qn-1an= akqn-k

　　(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

　　5、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關于n的正比例式);

　　當q≠1時，Sn=

　　Sn=

　　高中數學中有關等差、等比數列的結論

　　1、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數列。

　　2、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則

　　3、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則

　　4、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數列。

　　5、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。

　　6、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列仍為等比數列。

　　7、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

　　8、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。

　　9、三個數成等差數列的設法：a-d,a,a+d;四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

　　10、三個數成等比數列的設法：a/q,a,aq;

　　四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么?)

　　有界性

　　設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界。

　　單調性

　　設函數f（x）的定義域為D，區間I包含于D.如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。

　　奇偶性

　　設為一個實變量實值函數，若有f（—x）=—f（x），則f（x）為奇函數。

　　幾何上，一個奇函數關于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉后不會改變。

　　奇函數的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

　　設f（x）為一實變量實值函數，若有f（x）=f（—x），則f（x）為偶函數。

　　幾何上，一個偶函數關于y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射后不會改變。

　　偶函數的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。

　　偶函數不可能是個雙射映射。

　　連續性

　　在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。

　　空間幾何體表面積體積公式：

　　1、圓柱體：表面積：2πRr+2πRh體積：πR2h（R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高）

　　2、圓錐體：表面積：πR2+πR[（h2+R2）的]體積：πR2h/3（r為圓錐體低圓半徑，h為其高，3、a—邊長，S=6a2，V=a3

　　4、長方體a—長，b—寬，c—高S=2（ab+ac+bc）V=abc

　　5、棱柱S—h—高V=Sh

　　6、棱錐S—h—高V=Sh/3

　　7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/3

　　8、S1—上底面積，S2—下底面積，S0—中h—高，V=h（S1+S2+4S0）/6

　　9、圓柱r—底半徑，h—高，C—底面周長S底—底面積，S側—，S表—表面積C=2πrS底=πr2，S側=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h

　　10、空心圓柱R—外圓半徑，r—內圓半徑h—高V=πh（R^2—r^2）

　　11、r—底半徑h—高V=πr^2h/3

　　12、r—上底半徑，R—下底半徑，h—高V=πh（R2+Rr+r2）/3

　　13、球r—半徑d—直徑V=4/3πr^3=πd^3/6

　　14、球缺h—球缺高，r—球半徑，a—球缺底半徑V=πh（3a2+h2）/6=πh2（3r—h）/3

　　15、球臺r1和r2—球臺上、下底半徑h—高V=πh[3（r12+r22）+h2]/6

　　16、圓環體R—環體半徑D—環體直徑r—環體截面半徑d—環體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4

　　17、桶狀體D—桶腹直徑d—桶底直徑h—桶高V=πh（2D2+d2）/12，（母線是圓弧形，圓心是桶的中心）V=πh（2D2+Dd+3d2/4）/15（母線是拋物線形）

　　二面角和二面角的平面角

　　①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

　　②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

　　③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

　　兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

　　④求二面角的方法

　　定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角

　　垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角

　　集合與簡易邏輯

　　1、集合的元素具有確定性、無序性和互異性

　　2、對集合，時，必須注意到“極端”情況：或；求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集

　　3、對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為

　　4、“交的補等于補的并，即”；“并的補等于補的交，即”

　　5、判斷命題的真假關鍵是“抓住關聯字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”

　　6、“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”

　　7、四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”

　　原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價、反證法分為三步：假設、推矛、得果

　　注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題” L

　　8、充要條件

　　函數

　　1、指數式、對數式

　　2、（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”

　　（2）函數圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個

　　（3）函數圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像

　　3、單調性和奇偶性

　　（1）奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同

　　偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反

　　注意：（1）確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱、確定函數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等、對于偶函數而言有：

　　（2）若奇函數定義域中有0，則必有、即的定義域時，是為奇函數的必要非充分條件

　　（3）確定函數的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法（圖像法）、特殊值法等等

　　（4）既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）

　　（7）復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”

　　復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”、復合函數要考慮定義域的變化。（即復合有意義）

　　4、對稱性與周期性（以下結論要消化吸收，不可強記）

　　（1）函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱

　　推廣一：如果函數對于一切，都有成立，那么的圖像關于直線（由“和的一半確定”）對稱

　　推廣二：函數，的圖像關于直線（由確定）對稱

　　（2）函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱

　　（3）函數與函數的圖像關于坐標原點中心對稱

　　推廣：曲線關于直線的對稱曲線是；

　　曲線關于直線的對稱曲線是

　　（5）類比“三角函數圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為

　　如果是R上的周期函數，且一個周期為，那么

　　特別：若恒成立，則、若恒成立，則、若恒成立，則

　　數列

　　1、數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前項和公式的關系：（必要時請分類討論）

　　注意：；、

　　2、等差數列中：

　　（1）等差數列公差的取值與等差數列的單調性

　　（2）；

　　（3）、也成等差數列

　　（4）兩等差數列對應項和（差）組成的新數列仍成等差數列

　　（5）仍成等差數列、

　　（8）“首正”的遞等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；

　　“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和；

　　（9）有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定、若總項數為偶數，則“偶數項和”—“奇數項和”=總項數的一半與其公差的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”—“偶數項和”=此數列的中項

　　（10）兩數的等差中項惟一存在、在遇到三數或四數成等差數列時，常考慮選用“中項關系”轉化求解

　　（11）判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式）

　　3、等比數列中：

　　（1）等比數列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數列的首項、公比與等比數列的單調性

　　（2）成等比數列；成等比數列成等比數列

　　（3）兩等比數列對應項積（商）組成的新數列仍成等比數列

　　（4）“首大于1”的正值遞減等比數列中，前項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數列中，前項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

　　（5）有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定、若總項數為偶數，則“偶數項和”=“奇數項和”與“公比”的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”=“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和

　　（6）并非任何兩數總有等比中項、僅當實數同號時，實數存在等比中項、對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對、也就是說，兩實數要么沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）、在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中項關系”轉化求解

　　（7）判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（也就是說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式）、

　　4、等差數列與等比數列的聯系

　　（1）如果數列成等差數列，那么數列（總有意義）必成等比數列

　　（2）如果數列成等比數列，那么數列必成等差數列

　　（3）如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列；但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件

　　（4）如果兩等差數列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數

　　如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項，并構成新的數列、

　　注意：

　　（1）公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究、但也有少數問題中研究，這時既要求項相同，也要求項數相同

　　（2）三（四）個數成等差（比）的中項轉化和通項轉化法

　　5、數列求和的常用方法：

　　（1）公式法：

　　①等差數列求和公式（三種形式）

　　②等比數列求和公式（三種形式）

　　（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和

　　（3）倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）

　　（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉化為“一個新的的等比數列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數列的項數是原數列的項數減一的差”！）（這也是等比數列前和公式的推導方法之一）

　　（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和、常用裂項形式有：

　　特別聲明：L運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討論

　　（6）通項轉換法。

　　三角函數

　　1、終邊與終邊相同（的終邊在終邊所在射線上）

　　終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）

　　終邊與終邊關于軸對稱

　　終邊與終邊關于原點對稱

　　一般地：終邊與終邊關于角的終邊對稱。

　　與的終邊關系由“兩等分各象限、一二三四”確定。

　　2、弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度（1rad）。

　　3、三角函數符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正

　　注意：

　　4、三角函數線的特征是：正弦線“站在軸上（起點在軸上）”、余弦線“躺在軸上（起點是原點）”、正切線“站在點處（起點是）”、務必重視“三角函數值的大小與單位圓上相應點的坐標之間的關系，‘正弦’ ‘縱坐標’、‘余弦’ ‘橫坐標’、‘正切’ ‘縱坐標除以橫坐標之商’”；務必記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關系、為銳角

　　5、三角函數同角關系中，平方關系的運用中，務必重視“根據已知角的范圍和三角函數的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；

　　6、三角函數誘導公式的本質是：奇變偶不變，符號看象限

　　7、三角函數變換主要是：角、函數名、次數、系數（常值）的變換，其核心是“角的變換”！

　　角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換。

　　常值變換主要指“1”的變換：

　　三角式變換主要有：三角函數名互化（切割化弦）、三角函數次數的降升（降次、升次）、運算結構的轉化（和式與積式的互化）、解題時本著“三看”的基本原則來進行：“看角、看函數、看特征”，基本的技巧有：巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次。

　　注意：和（差）角的函數結構與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）公式中的符號特征、“正余弦‘三兄妹— ’的聯系”（常和三角換元法聯系在一起）。

　　輔助角公式中輔助角的確定：（其中角所在的象限由a，b的符號確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著重要作用、尤其是兩者系數絕對值之比為的情形有實數解。

　　8、三角函數性質、圖像及其變換：

　　（1）三角函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和周期性

　　（2）三角函數圖像及其幾何性質：

　　（3）三角函數圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換。

　　（4）三角函數圖像的作法：三角函數線法、五點法（五點橫坐標成等差數列）和變換法。

　　9、三角形中的三角函數：

　　（1）內角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余、銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方。

　　（2）正弦定理：（R為三角形外接圓的半徑）。

　　注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解。

　　（3）余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型。

　　一次函數

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

　　即：y=kx （k為常數，k0）

　　二、一次函數的性質：

　　1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b （k為任意不為零的實數b取任何實數）

　　2、當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

　　三、一次函數的圖像及性質：

　　1、作法與圖形：通過如下3個步驟

　　（1）列表；

　　（2）描點；

　　（3）連線，可以作出一次函數的圖像一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）

　　2、性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（—b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。

　　3、k，b與函數圖像所在象限：

　　當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b0時，直線必通過一、二象限；

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k0時，直線只通過一、三象限；當k0時，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函數的表達式：

　　已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

　　（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②

　　（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函數的表達式。

　　五、一次函數在生活中的應用：

　　1、當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

　　2、當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人補充）

　　1、求函數圖像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求與x軸平行線段的中點：|x1—x2|/2

　　3、求與y軸平行線段的中點：|y1—y2|/2

　　4、求任意線段的長：（x1—x2）^2+（y1—y2）^2 （注：根號下（x1—x2）與（y1—y2）的平方和）

　　二次函數

　　I、定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c為常數，a0，且a決定函數的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大、）

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II、二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a0）

　　頂點式：y=a（x—h）^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]

　　交點式：y=a（x—x）（x—x ） [僅限于與x軸有交點A（x，0）和B（x，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x，x=（—bb^2—4ac）/2a

　　III、二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV、拋物線的性質

　　1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x= —b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2、拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P（ —b/2a，（4ac—b^2）/4a ）

　　當—b/2a=0時，P在y軸上；當= b^2—4ac=0時，P在x軸上。

　　3、二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4、一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；

　　當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。

　　5、常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6、拋物線與x軸交點個數

　　= b^2—4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　= b^2—4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　= b^2—4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= —bb^2—4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

　　V、二次函數與一元二次方程

　　特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

　　函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　1、二次函數y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

　　解析式頂點坐標對稱軸

　　y=ax^2（0，0） x=0

　　y=a（x—h）^2（h，0） x=h

　　y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a

　　當h0時，y=a（x—h）^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到、

　　當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a（x—h）^2+k的圖象；

　　因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c（a0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a（x—h）^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了、這給畫圖象提供了方便、

　　2、拋物線y=ax^2+bx+c（a0）的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=—b/2a，頂點坐標是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）、

　　3、拋物線y=ax^2+bx+c（a0），若a0，當x —b/2a時，y隨x的增大而減小；當x —b/2a時，y隨x的增大而增大、若a0，當x —b/2a時，y隨x的增大而增大；當x —b/2a時，y隨x的增大而減小、

　　4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

　　（1）圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0，c）；

　　（2）當△=b^2—4ac0，圖象與x軸交于兩點A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　（a0）的兩根、這兩點間的距離AB=|x—x|

　　當△=0、圖象與x軸只有一個交點；

　　當△0、圖象與x軸沒有交點、當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y0；當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y0、

　　5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0（a0），則當x= —b/2a時，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a、

　　頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值、

　　6、用待定系數法求二次函數的解析式

　　（1）當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a0）、

　　（2）當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a（x—h）^2+k（a0）、

　　（3）當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a（x—x）（x—x）（a0）、

　　7、二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現、

　　反比例函數

　　形如y=k/x（k為常數且k0）的函數，叫做反比例函數。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

　　反比例函數圖像性質：

　　反比例函數的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關于原點對稱。

　　另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數圖像。

　　當K0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

　　當K0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

　　反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1、過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。

　　2、對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數（即y=k/（xm）m為常數），就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

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