基本不等式教學設計（通用8篇）
作為一名專為他人授業解惑的人民教師，時常要開展教學設計的準備工作，編寫教學設計有利于我們科學、合理地支配課堂時間。教學設計應該怎么寫才好呢？以下是小編為大家收集的基本不等式教學設計（通用8篇），僅供參考，希望能夠幫助到大家。
基本不等式教學設計1
教材分析
本節課是在系統的學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。
教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節學習體會數學來源于生活，提高學習數學的樂趣。
課程目標分析
依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：
1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式;培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。
3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。
教學重、難點分析
重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。
難點：
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。
具體過程安排如下：
創設情景，提出問題;
設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此，設置如下情境：
上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納：
一般地，對于任意實數a，b，有，當且僅當a=b時，等號成立。
[問]你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地，當a>0，b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么?
設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.
答案：。
【歸納總結】
如果a，b都是正數，那么，當且僅當a=b時，等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數。
三、理解升華：
1、文字語言敘述：
兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。
2、聯想數列的知識理解基本不等式
已知a，b是正數，A是a，b的等差中項，G是a，b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系?
兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。
3、符號語言敘述：
若，則有，當且僅當a=b時，。
[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論，交流看法，師生總結)
“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：
基本不等式教學設計2
教學目的
掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。
教學過程
師：我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？
第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。
第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。
生：第一組都是等式，第二組都是不等式。
師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？
生：表示相等關系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。
師：在數學熾，我們用等號“=”來表示相等關系，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關系，其中“＞”和“＜”表示大小關系。表示大小關系的不等式是我們中學教學所要研究的。
前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？
生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數不為零）同一個數，所得到的仍是等式。
師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到，是否有與等式相類似的性質，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經（除數不為零）同一個數，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。
練習1 (回答)用小于號“<”或大于號“>”填空。
（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6
練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發，進行下面的運算。
（1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？
（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？
（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？
生：我們發現：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！
師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發生改變呢？
生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數的情況下，不等號的方向要改變。
師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。
練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：
7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。
師：現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地說，不等式的基本性質有三條：
性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，不等號的方向 。
（讓同學回答。）
性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向 。（讓同學回答。）
性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向 。（讓同學回答。）
現在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質。
不等式的這三條基本性質，都可以用數學語言表達出來，先請一位同學說一說第一條基本性質。
生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。
師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？
生：沒有什么要求。
師：哪位同學來回答第二、三條性質？
生甲：如果a0， 那么acb，且c>0，那么ac>bc(或
生乙：如果a 師：這兩條性質中，對a、b、c有什么要求？ 生：對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數還是負數。 師：很好，c可以為零嗎？ 生：c不能為零。因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。 師：好！應用剛才學到的基本性質，我們來看下面的例題。 [例1]按照下列條件，寫出仍能成立的不等式： （1）5＜9，兩邊都加上-3； （2）9＞4，兩邊都減去10； （3）-5＜3，兩邊都乘以4； （4）14＞-8，兩邊都除以-2。 解 （1）根據不等式基本性質1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號的方向不變，所以 5+（-3）＜9+（-3）， 2＜6 （2）根據不等式基本性質1，得 9-10＞4-10 -1＞-6 （3）根據不等式基本性質2，得 -5×4＜3×4 -20＜12 （4）根據不等式基本性質3，得 14÷（-2）＜（-8）÷（-2） -7＜4 [例2]設a＞b，用不等號連結下列各題中的兩式： （1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b。 師：哪一位同學來做這題？解題時，要講清一步的理由。 生甲：因為a＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質1，得 a-3＞b-3． 師：很好，大家都是這樣做的嗎？ 生乙：我是這樣做的，因為a＞b，兩邊都加上（-3），由基本性質1，得 a-3＞b-3． 師：好！這兩位同學從不同的角度來分析題目，都得到了正確的結論。 生丙：因為a＞b，2＞0，由基本性質2，得2a＞2b。 生丁：因為a＞b，-1＞0，由基本性質3，得-a＞-b。 師：下面我們來看一組較復雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析。[例3]判斷以下各題的結論是否正確，并說明都理由： (1)如果a>b，且c>0，那么ac>bd; (2)如果a>b，那么ac2>bc2; (3)如果ac2>bc2，那么a>b; (4)如果a>b，那么a-b>0; (5)如果ax>b，且a≠0，那么x< ; (6)如果a+b>a; 生甲：（1）不對，當c=d≤0時，ac＞bd不成立。 生乙：（2）也不對，因為c2是一個非負數，當c=0時，ac2＞bc2不成立。 生丙：（3）對，因為ac2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據不等式基本性質2，得a＞b出。 （4）對，根據不等式基本性質，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。 （5）不對，當a＜0時，根據不等式基本性質3，得。 （6）不對，因為當b＜0時，根據不等式基本性質1，得a+b＜a；而當b=0時，則有a+b=a。 師：同學們回答得很好。今天我們學習了不等式的基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用。 課外做以下作業：略。 教案說明 （1） 不等式的基本性質的教學，是分成兩個階段進行的。在初中階段，對不等式的基本性質，并不作證明，只引導學生用試驗的方法，歸納出三條基本性質。通過試驗，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認識事物規律的重要方法。科學上的許多發現，大多離不開試驗和觀察。大數學家歐拉說過：“數學這門科學，需要觀察，也需要試驗。”通過教學培養學生掌握由試驗發現規律的方法，具有重要的意義。當然通過幾個特殊的試驗，就得出一般的結論，是不嚴密的。但對初中學生來說，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴密的。 （2） 不等式的基本性質的教學，還應采用對比的方法。學生已學過等式和等式的性質，為了便于和加深對不等式基本性質的理解，在教學過程中，應將不等式的性質與等式的性質加以比較：強調等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，所得到的仍是等式，這個數可以是正數、負數或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，當這個數是正數、負數或零時，對不等式的方向，有什么不同的影響。通過這樣的對比，不但可以復習已學過的等式有關知識，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質。對比的方法，也是學習數學的一種重要方法。 （3） 在應用不等式的基本性質對不等式進行變形時，學生對不等式兩邊是具體數，判定大小關系比較容易。因為這實際上是有理數大小的比較。對于不等式兩邊是含字母的代數式時，根據題給的條件，運用不等式基本性質判別大小關系或不等號方向，就比較困難。因為它比較抽象，特別是在運用不等式的基本性質2和性質3時，學生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數的符號是什么，或者還要對這個用字母表示的數，按正數、負數或零三種情況加以討論。在教學過程中，對于這類題目，采用討論法是比較好的。因為在討論時，學生可以充分發表各種見解。對于正確的見解，教師可以讓學生說出解題的依據；對于錯誤的見解，教師可以進行啟發引導，發動學生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發現問題，有的放矢地解決問題，有利于深化對不等式基本性質的認識。 一、教學目標： （一）知識與技能 1．掌握不等式的三條基本性質。 2．運用不等式的基本性質對不等式進行變形。 （二）過程與方法 1．通過等式的性質，探索不等式的性質，初步體會“類比”的數學思想。 2．通過觀察、猜想、驗證、歸納等數學活動，經歷從特殊到一般、由具體到抽象的認知過程，感受數學思考過程的條理性，發展思維能力和語言表達能力。 （三）情感態度與價值觀 通過探究不等式基本性質的活動，培養學生合作交流的意識和大膽猜想，樂于探究的良好思維品質。 二、教學重難點 教學重點： 探索不等式的三條基本性質并能正確運用它們將不等式變形。 教學難點： 不等式基本性質3的探索與運用。 三、教學方法：自主探究——合作交流 四、教學過程: 情景引入：1．舉例說明什么是不等式？ 2．判斷下列各式是否成立？并說明理由。 ( 1 ) 若x－6=10, 則x＝16( ) ( 2 ) 若3x=15, 則 x＝5 ( ) ( 3 ) 若x－6＞10 則 x＞16( ) ( 4 ) 若3x＞15 則 x＞5 ( ) 【設計意圖】（1）、（2）小題喚起對舊知識等式的基本性質的回憶，（3）、（4）小題引導學生大膽說出自己的想法。 溫故知新 問題1．由等式性質1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質嗎？ 等式性質1：等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。 估計學生會猜：不等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。教師引導：“＝”沒有方向性，所以可以說所得結果仍是等式，而不等號：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我們應該重點研究它在方向上的變化。 問題2．你能通過實驗、猜想，得出進一步的結論嗎？ 同學通過實例驗證得出結論，師生共同總結不等式性質1。 問題3．你能由等式性質2進一步猜想不等式還具有什么性質嗎？ 等式性質2：等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），等式依然成立。 估計學生會猜：不等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），不等號的方向不變。 你能和小伙伴一起來驗證你們的猜想嗎？ 學生在小組內合作交流，發現了在不等式兩邊都乘或除以同一個數時，不等號的方向會出現兩種情況。教師進一步引導學生通過分析、比較探索規律，從而形成共識，歸納概括出不等式性質2和3。 問題4．在不等式兩邊都乘0會出現什么情況？ 問題5．如果a、b、c表示任意數，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性質表示出來碼？ 【想一想】不等式的基本性質與等式的基本性質有什么相同之處，有什么不同之處？ 學生思考，獨立總結異同點。 【設計意圖】引導學生把二者進行比較，有助于加深對不等式基本性質的理解，促成知識的“正遷移”。 綜合訓練：你能運用不等式的基本性質解決問題嗎？ 1、課本62頁例3 教師引導學生觀察每個問題是由a＞b經過怎樣的變形得到的，應該應用不等式的哪條基本性質。由學生思考后口答。 2、你認為在運用不等式的基本性質時哪一條性質最容易出錯，應該怎樣記住？ 3．火眼金睛 ①a＞1, 則2a___a ②a＞3a,則 a ___ 0 【設計意圖】通過變式訓練，加深學生對新知的理解，培養學生分析、探究問題的能力。 課堂小結： 這節課你有哪些收獲？你認為自己的表現如何？教師引導學生回顧、思考、交流。 【設計意圖】回顧、總結、提高。學生自覺形成本節的課的知識網絡。 思考題 咱們班的盛芳同學準備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅游。青年旅行社的標準為：大人全價，小孩半價；方正旅行社的標準為：大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價一樣，你能幫盛芳同學考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？ 【設計意圖】利用所學的數學知識，解決生活中的問題，加強數學與生活的聯系，體驗數學是描述現實世界的重要手段。 一、三維目標： 1、知識與技能： 理解基本不等式的內容及其證明，能應用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小、求取值范圍等問題 2、過程與方法： 能夠理解并建立不等式的知識鏈 3、情感、態度與價值觀： 通過運用基本不等式解答實際問題，提高用數學手段解答現實生活中的問題的能力和意識 4、本節重點： 應用數形結合的思想，理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程 5、本節難點： 應用基本不等式求最值 二、課程引入： 第24屆世界數學家大會在北京召開，會標設計如圖： 四個以a，b為直角邊的直角△ABC，組成正方形ABCD 則 如圖可知： 即 當且僅當小正方形EFGH面積為0時取等號，即時取得等號 三、新課講授： （一）基本不等式的推證： 1、重要不等式與基本不等式 由引入中提到的重要不等式，將其中的用代換， 得到基本不等式，當且僅當時，即時取得等號。 特別注意，重要不等式的適用范圍是全體實數， 而基本不等式的使用需要 2、基本不等式的幾種表述方式 平均數角度：兩正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數（均值不等式定理） 數列角度：兩正數的等差中項不小于它們的等比中項 探究：基本不等式的幾何表示：半徑不小于半弦長 3、分析法推證基本不等式 要證，只需證明（2）。要證明（2）只需證明（3）。 要證明（3）只需證明（4）。（4）式顯然成立，故得證。 （二）基本不等式的應用與提高： 1、你是設計師！ （1）春天到了，學校決定用籬笆圍一個面積為100平米的花圃種花。有以下兩種方案： 圓形花圃：造價12元/米 矩形花圃：造價10元/米 你覺得哪個方案更省錢呢？ 分析及解答：因為初中學習過平面幾何，同學們大都知道，同樣長度的籬笆圍圓形會比圍矩形得到的面積大，由此可知，同樣的面積肯定是為圓形用的材料省。但是本題涉及造價問題，兩種籬笆的花費不同。圓形籬笆雖然需要的材料少，但是每米的花費高，所以到底應該用哪個方案需要動手算一下才能知道。在這里讓學生分成兩派，可以自己選擇一個認為比較省錢的方案去計算。 圓形花圃： 矩形花圃：設兩邊為x，y，，故當x=y時花費最少為400元 （2）現在只有36米的籬笆可用，怎么樣設計才能使得矩形花圃的面積最大？ 解： （3）有人出了個主意，讓花圃的一面靠墻，利用墻壁作為花圃的一邊，可以省一部分材料。那么發揮你的聰明才智，用這36米的籬笆，怎么樣設計才能圍出面積最大的花圃？ 2、看誰算得快！ 3、大家來挑錯！ 分析：結合上一系列題目中的（5）-（7）題可知，本題的解答忽略了對基本不等式使用時必須是正數這一點注意事項。 本題的解答在使用基本不等式時沒有找到定值條件，只是盲目的套用基本不等式的形式，導致所得結果并不是最小的值。 提醒同學注意：在使用基本不等式求最值為題時，式中的積或和必須是定值。 本題的解答沒有注意本身的限制，使得基本不等式的等號無法取得。 提醒同學注意：最值是否存在要考慮基本不等式中的`等號是否能取得，在什么情況下取得。 （三）小結： 1、使用重要不等式和基本不等式需要注意適用條件，基本不等式需要正數，重要不等式可用于全體實數。 2、積定和最小、和定積最大。 3、使用基本不等式解決最值問題需要注意“一正，二定，三相等” 四、作業： 1、書后練習題。 2、請你給出大家來挑錯環節里三道題目的正確解答。 五、課后反思： 1、多媒體的運用。 在引入部分，關于數學家大會的圖標，如果可以進一步利用多媒體做出可以變形的效果，讓學生更加直觀的觀察到變換過程的話，教學效果會更好。 2、應該引導學生多種思路考慮問題 比如這樣的拼湊出定值條件的思路是學生應該掌握的。 3、因為本節是新課講授，學生新接觸一個知識，還沒有能夠很好的融會貫通。因此上在這個階段不應該做過難的題目。一些簡單的，同時可以起到鞏固新知識的小題目往往可以起到更好的效果。本課中設計了一些基本可以口答的小題，讓學生在很短的時間中完成。這不僅可以強化學生會本節主要內容的理解和運用，而且也對快速反應和解答題目進行了強化，提高學生解題效率。 4、讓學生學會檢查和挑錯其實是很重要的。本課中的大家來挑錯環節不僅可以強化學生對本節重點內容的理解，而且再遇到相似題型的時候可以避免犯類似的錯誤，提高教學效率。同時也培養了學生質疑精神，尋求科學真理的熱情。 教學重點 1、創設代數與幾何背景，用數形結合的思想理解基本不等式； 2、從不同角度探索基本不等式的證明過程； 3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路。 教學難點 1、對基本不等式從不同角度的探索證明； 2、通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路。 教具準備 多媒體及課件 三維目標 一、知識與技能 1、創設用代數與幾何兩方面背景，用數形結合的思想理解基本不等式； 2、嘗試讓學生從不同角度探索基本不等式的證明過程； 3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結論，或由結論到條件。 二、過程與方法 1、采用探究法，按照聯想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發式教學； 2、教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用； 3、將探索過程設計為較典型的具有挑戰性的問題，激發學生去積極思考，從而培養他們的數學學習興趣。 三、情感態度與價值觀 1、通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣； 2、學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量； 3、通過對富有挑戰性問題的解決，激發學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧秘、數學的簡潔美、數學推理的嚴謹美，從而激發學生的學習興趣。 教學過程 導入新課 探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？ （教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情） 推進新課 師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？ （沉靜片刻） 生 應該先從此圖案中抽象出幾何圖形。 師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學能在黑板上畫出這個幾何圖形？ （請兩位同學在黑板上畫。教師根據兩位同學的板演作點評） （其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀。此時教師用投影片給出隱含的規范的幾何圖形） 師 同學們觀察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準確。這說明，我們只要在現有的基礎上進一步刻苦努力，發奮圖強，也能作出和數學家趙爽一樣的成績。 （此時，每一位同學看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節課的學習中來） ［過程引導］ 師 設直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關系呢？ 生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和。 師 一定嗎？ （大家齊聲：不一定，有可能相等） 師 同學們能否用數學符號去進行嚴格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？ 生 每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。 師 這位同學回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a2+b2≥2ab證明了嗎？ 生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已。 師 回答得很好。 （有的同學感到迷惑不解） 師 這樣的敘述不能代替證明。這是同學們在解題時經常會犯的錯誤。實質上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明。 （有的同學竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明） 師 請同學們繼續思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。 生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個完全平方數，它是非負數，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。 師 同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？ 生 正確。 ［教師精講］ 師 這位同學的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據實數的基本性質比較兩個代數式的大小是否一樣。 生 實質一樣，只是設問的形式不同而已。一個是比較大小，一個是讓我們去證明。 師 這位同學回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數學研究當中，還有另一種“比較法”。 （教師此處的設問是針對學生已有的知識結構而言） 生 作商，用商和“1”比較大小。 師 對。那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學們課后去思考，在解決問題中自然會遇到。 （此處設置疑問，意在激發學生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生） ［合作探究］ 師 請同學們再仔細觀察一下，等號何時取到。 生 當四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號。 （學生的思維仍建立在感性思維基礎之上，教師應及時點撥） 師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去說明。 生 當且僅當(a-b)2=0，即a=b時，取等號。 師 這位同學回答得很好。請同學們看一下，剛才兩位同學分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致。 （大家齊聲）一致。 （此處意在強化學生的直覺思維與理性思維要合并使用。就此問題來講，意在強化學生數形結合思想方法的應用） 板書： 一般地，對于任意實數a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。 ［過程引導］ 師 這是一個很重要的不等式。對數學中重要的結論，我們應仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延。只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應手，也不會出錯。 （同學們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時，教師應及時點撥、指引） 師 當a＞0,b＞0時，請同學們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。 生 完全可以。 師 為什么？ 生 因為不等式中的a、b∈R。 師 很好，我們來看一下代替后的結果。 板書： 即 (a＞0,b＞0)。 師 這個不等式就是我們這節課要推導的基本不等式。它很重要，在數學的研究中有很多應用，我們常把叫做正數a、b的算術平均數，把ab叫做正數a、b的幾何平均數，即兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 （此處意在引起學生的重視，從不同的角度去理解） 師 請同學們嘗試一下，能否利用不等式及實數的基本性質來推導出這個不等式呢？ （此時，同學們信心十足，都說能。教師利用投影片展示推導過程的填空形式） 要證：，① 只要證a+b≥2，② 要證②，只要證：a+b-2≥0，③ 要證③，只要證：④ 顯然④是成立的，當且僅當a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式。 （此處以填空的形式,突出體現了分析法證明的關鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學生，讓學生在探究的基礎上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度） ［合作探究］ 老師用投影儀給出下列問題。 如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DD′，連結AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？ （本節課開展到這里，學生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎） ［合作探究］ 師 同學們能找出圖中與a、b有關的線段嗎？ 生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得。 生 由射影定理也可得。 師 這兩位同學回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？ 生表示半弦長，表示半徑長。 師 半徑和半弦又有什么關系呢？ 生 由半徑大于半弦可得。 師 這位同學回答得是否很嚴密？ 生 當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。 課堂小結 師 本節課我們研究了哪些問題？有什么收獲？ 生 我們通過觀察分析第24屆國際數學家大會的會標得出了不等式a2+b2≥2ab。 生 由a2+b2≥2ab,當a＞0，b＞0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進而用不等式的性質，由結論到條件，證明了基本不等式。 生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式。 （此處，創造讓學生進行課堂小結的機會，目的是培養學生語言表達能力，也有利于課外學生歸納、總結等學習方法、能力的提高） 師 大家剛才總結得都很好，本節課我們從實際情景中抽象出基本不等式。并采用數形結合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當且僅當a=b時等號成立。在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學們要注意數形結合的思想在解題中的靈活運用。 布置作業 活動與探究：已知a、b都是正數，試探索, ,,的大小關系，并證明你的結論。 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關系，再由不等式及實數的性質證明。 （方法二）創設幾何直觀情景。設AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。 板書設計 基本不等式的證明 一、實際情景引入得到重要不等式 a2＋b2≥2ab 二、定理 若a＞0，b＞0 課后作業： 證明過程探索： （一）教學目標 1．知識與技能:使學生感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，在學生了解了一些不等式（組）產生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容。 2.過程與方法:以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關基本性質研究不等關系； 3．情態與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質量。 （二）教學重、難點 重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。 難點：用不等式（組）正確表示出不等關系。 （三）教學設想 [創設問題情境] 問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。 問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？ 分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20 問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？ 分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.. 根據題意，應有如下的不等關系： （1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm； （2）截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍； （3）解得兩鐘鋼管的數量都不能為負。 由以上不等關系，可得不等式組： [練習]第82頁，第1、2題。 [知識拓展] 設問：等式性質中：等式兩邊加（減）同一個數（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類似的性質呢？ 從實數的基本性質出發，可以證明下列常用的不等式的基本性質： （1） （2） （3） （4） 證明： 例1講解（第82頁） [練習]第82頁，第3題。 [思考]：利用以上基本性質，證明不等式的下列性質： [小結]：1.現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系； 2.利用不等式的有關基本性質研究不等關系； [作業]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2. 【教學目標】 1.通過具體情境讓學生感受和體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，鼓勵學生用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、改變學生的數學學習態度。 2．建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關系。 3．了解不等式或不等式組的實際背景。 4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。 【重點難點】 重點: １.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。 ２.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。 3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。 難點: 1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。 2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。 【方法手段】 1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發式教學。 2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用。 3.設計教典型的現實問題，激發學生的學習興趣和積極性。 【教學過程】 教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖 導入新課 日常生活中，同學們發現了哪些數量關系。你能舉出一些例子嗎？ 實例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。 實例2.若一個數是非負數，則這個數大于或等于零。 實例3.兩點之間線段最短。 實例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 引導學生想生活中的例子和學過的數學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發了學生學習數學的興趣。 推進新課 同學們所舉的這些例子聯系了現實生活，又考慮到數學上常見的數量關系，非常好。而且大家已經考慮到本節課的標題《不等關系與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關系。 （下面利用電腦投影展示兩個實例） 實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應使汽車的速度v不超過40km/h。 實例6：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%. 同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。 讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數量關系來描述 過程引導 能夠發現身邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但是我們還要能用數學的眼光、數學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢？ 什么是不等式呢？ 用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4. 能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數學模型的過程通過對不等式數學模型的研究，反過來作用于現實生活，這才是學習數學的最終目的。 思考并回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關系。 經過老師的啟發和點撥，學生可以自己總結出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。 目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號≤，≥的含義，是或的關系。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。 此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。 合作探究 （一）。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來，那應該怎么表示呢？ 這兩位同學的觀點是否正確？ 老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表達。 （二）。問題一：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。 請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。 老師提示：借助于圖形，這個問題是不是可以解決？ （下面讓學生板演，結合三角形草圖來表達） 問題（二）：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？ 是不是還有其他的思路？ 為什么可以這樣設？ 很好，請繼續講。 這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。 問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式？ 假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據題意，應當有什么樣的不等量關系呢？ 右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？ 這位學生回答得很好，思維很嚴密，那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？ 通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。 課堂小結： 1.學習數學可以幫助我們解決實際生活中的問題。 2.數學和我們的生活聯系非常密切。 3.本節課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來解決現實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密，規范，并且要注意數形結合等思想方法的綜合應用。 布置作業： 第75頁習題3.1 A組4，5。 29℃≤t≤35℃ x≥0 |AC|+|BC|>|AB| |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|. |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、 |AB|-|AC|<|BC|.交被減數與減數的位置也可以。 如果用表示速度，則v≤40km/h. f≥2.5%或p≥2.3% 學生自己糾正了錯誤：這種表達是錯誤的，因為兩個不等量關系要同時滿足，所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%. 過點A作AC⊥平面于點C，則d=|AC|≤|AB| 可設雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本。銷售量變為(8-)萬本，則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20. 解法二：可設雜志的單價提高了0.1n元，（n） 我只考慮單價的增量。 那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20. 截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。 截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。 截得兩種鋼管的數量都不能為負數。 它們是同時滿足條件，應該是且的關系。由實際問題的意義，還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示： 如果學生沒有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發學生考慮三邊的大小關系。 此時啟發學生“或”字可以嗎？學生沒有了聲音，他們在思考著。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。 此時學生們在思考，時間長的話，老師要及時點撥。 讓學生知道，在解決問題時應該貫穿數形結合的思想，以形助數，下面有學生的聲音，有學生在討論，有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況，并且及時的加以指導。 此時學生已經真正進入本節課的學習狀態，老師再給出問題（三）使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態。問題是教學研究的核心，以問題展示的形式來培養學生的問題意識與探究意識。 【教學反思】(【設計說明】) 本節課內容很多，都是不等式和不等式組的有關問題，還有很多是生活中的實例，學生學習起來很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數學生都能很積極地回答問題，使課堂的學習氣氛很濃，確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學，邊講授邊引導，啟發學習思考問題及能自己解決問題，鍛煉學習能自主的學習能力。 【交流評析】 一是課堂容量適中，二是實例很好，接近生活，學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處，教學設備很完善，老師也能很熟練的應用。 教學分析 本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小. 通過本節課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來. 在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小. 在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識. 三維目標 1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系. 2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍. 3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美. 重點難點 教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍. 教學難點：準確比較兩個代數式的大小. 課時安排 1課時 教學過程 導入新課 思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課. 思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課. 推進新課 新知探究 提出問題 1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系? 2在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎? 3數軸上的任意兩點與對應的兩實數具有怎樣的關系? 4任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系? 活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“a>b”“a 教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容. 實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃. 實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA 實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零. 實例4：兩點之間線段最短. 實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h. 實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%. 教師進一步點撥：能夠發現身邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等. 教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖. |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|. |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以. 實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%. 對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論. 討論結果： (1)(2)略;(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大. (4)對于任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a 應用示例 例1(教材本節例1和例2) 活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法. 點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握. 變式訓練 1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x) 答案：A 解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x). 2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小. 解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2. ∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1. 例2比較下列各組數的大小(a≠b). (1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0); (2)a4-b4與4a3(a-b). 活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點. 解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b. ∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b. (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2]. ∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)， 又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0. ∴a4-b4<4a3(a-b). 點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用. 變式訓練 已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小. 活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系. 解：xy-1=x-yy. ∵x>y，∴x-y>0. 當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1; 當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1. 點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論. 例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由. 活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法. 解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a 由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%， 因此a+mb+m>ab≥10%. 所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了. 點評：一般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab. 變式訓練 已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則( ) A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8 C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定 答案：A 解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4 =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2). ∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0. 又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5. 知能訓練 1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小. 答案： 1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0， ③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0. ∴只有①恒成立. 2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0， 所以2x2+5x+9>x2+5x+6. 課堂小結 1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中. 2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究. 作業 習題3—1A組3;習題3—1B組2. 設計感想 1.本節設計關注了教學方法的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥. 2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響. 3.本節設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升. 備課資料 備用習題 1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小. 2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1. 3.已知x>0，求證：1+x2>1+x . 4.若x 5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小. 參考答案： 1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4) =(x2-6x+9)-(x2-6x+8) =1>0， ∴(x-3)2>(x-2)(x-4). 2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5) =m2-2m+5+2m-5 =m2. ∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0. ∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1 =a2+2. ∵a2≥0，∴a2+2≥2>0. ∴a2-4a+3>-4a+1. 3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2 =1+x+x24-(x+1) =x24， 又∵x>0，∴x24>0. ∴(1+x2)2>(1+x)2. 由x>0，得1+x2>1+x. 4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x0，x-y<0. ∴-2xy(x-y)>0. ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b， 當a>b>0時，ab>1，a-b>0， 則(ab)a-b>1，于是aabb>abba. 當b>a>0時，0 則(ab)a-b>1. 于是aabb>abb a. 綜上所述，對于不相等的正數a、b，都有aabb>abba. 【基本不等式教學設計（通用8篇）】相關文章： 基本不等式教學反思10-21 基本不等式教學反思11篇12-26 基本不等式教學反思11篇12-26 不等式的基本性質的教學課件04-12 公民基本權利教學設計04-28 《比例的基本性質》教學設計03-31 絕對值不等式的基本性質10-12 不等式的基本性質課后說課12-17 不等式的8條基本性質是什么10-12 比例的意義和基本性質教學設計03-17 基本不等式教學設計3
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